
% Ćwiczenia na Newtona o grach

\mainlanguage[pl]

\usetypescript[pagella]
\setupbodyfont[pagella]

\usemodule[tikz]
\usetikzlibrary[calc]
\let\origstarttikzpicture=\starttikzpicture
\let\origstoptikzpicture=\stoptikzpicture
\def\starttikzpicture{\hbox\bgroup\origstarttikzpicture}
\def\stoptikzpicture {\origstoptikzpicture\egroup}

\def\todo#1{{\em \kap{do dopisania}: #1}}

%\setupinteraction[state=start]

\enablemode[nauczyciel]
%\disablemode[nauczyciel]

\def\startteacher{\grabbufferdata[teacher][startteacher][stopteacher]}
\doifmodeelse{nauczyciel}{\def\stopteacher{\par{\switchtobodyfont[small]\getbuffer[teacher]\par}}}{\def\stopteacher{}}

\def\startanswer{\par\dostartbuffer[answer][startanswer][stopanswer]}
\doifmodeelse{nauczyciel}{\def\stopanswer{{\switchtobodyfont[small]\blank[small]{\sl Odpowiedź.} \getbuffer[answer]\par}}}{\def\stopanswer{}}

\def\putdotafter#1{#1.}
\setuphead[subject][style=bold,after={},alternative=text,distance=0.25em,textcommand=\putdotafter]
%\setuphead[section][numbercommand=\putdotafter]
\setuphead[chapter][sectionstopper=.,page=no]

\def\teacheronly#1{\doifmode{nauczyciel}{#1}}
\def\time#1{\doifmode{nauczyciel}{\removeunwantedspaces
    \hskip 0pt plus 6em\penalty20\ \hskip 0pt plus -6em (#1~minut)}}

\defineitemgroup[exercises]
\setupitemgroup[exercises][1][n,broad,intro][left={\headnumber[chapter]},before={},inbetween={\blank[medium]}]

\def\ppauza{\unskip\kern.2em--\hskip.2em\ignorespaces}

\starttext

\noheaderandfooterlines
\startalignment[middle]
  \tfd Gry (materiały na ćwiczenia w~czwartek)
  \par\blank[big]
\stopalignment

\startnotmode[nauczyciel]
  \placefigure[bottom,none]{}{%
    \hbox to \textwidth{
    \externalfigure[logo-1-t][height=1.5cm]\hfil
    \externalfigure[logo-2-t][height=1.5cm]\hfil
    \externalfigure[logo-3-t][height=1.5cm]
  }}
\stopnotmode


\completecontent[alternative=a,pagestyle=slanted,distance=2pt]
\page

\startchapter[title={Gry macierzowe\time{15--20}}]

\startexercises
  \startitem
    Jakie są strategie optymalne dla obu graczy w~grze o~poniższej
    macierzy?
    \startformula
      \startmathmatrix[n=2,left={\left(\,},right={\,\right)},align=right]
        \NC 1 \NC 2 \NR
        \NC 3 \NC 4 \NR
      \stopmathmatrix
    \stopformula
    \startteacher
      Macierz interpretujemy następująco: I~gracz wybiera wiersz,
      II~gracz wybiera kolumnę (obaj robią to równocześnie), po czym
      II~gracz wypłaca pierwszemu kwotę z~przecięcia wybranego wiersza
      i~kolumny (gra o~sumie zero: wygrana jednego gracza jest równa
      przegranej drugiego).
    \stopteacher
    \startanswer
      Pierwszy gracz, wybierając drugi wiersz, w~każdym wypadku
      wygrywa więcej, niż gdyby wybrał pierwszy; powinien więc wybrać
      drugi wiersz (dominujący).  Drugi gracz, wybierając pierwszą
      kolumnę, w~każdym przypadku traci mniej, niż gdyby wybrał drugą;
      powinien więc wybrać pierwszą (dominującą) kolumnę.
    \stopanswer
  \stopitem
  \startitem
    Rozważmy grę z~następującą macierzą:
    \startformula
      \startmathmatrix[n=3,left={\left(\,},right={\,\right)},align=right]
        \NC 4 \NC 1 \NC -1 \NR
        \NC 0 \NC 1 \NC  6 \NR
        \NC 3 \NC 2 \NC 5  \NR
      \stopmathmatrix
    \stopformula
    Jaka jest optymalna strategia dla każdego z~graczy?
    \startanswer
      Żaden wiersz ani kolumna nie są dominujące, ale ponieważ
      \math{2} w~trzecim rzędzie i~drugiej kolumnie jest {\em
        najmniejszą} wartością w~swoim rzędzie i~{\em największą}
      wartością w~swojej kolumnie, optymalną strategią dla I~gracza
      jest trzecia (wygra co najmniej~\math{2} niezależnie od
      strategii II~gracza), a~dla II~gracza druga (przegra co
      najwyżej~\math{2} niezależnie od strategii I~gracza).
    \stopanswer
  \stopitem
  \startitem
    Gra {\em parzyste czy nieparzyste} polega na tym, że dwóch graczy
    wybiera (równocześnie) liczbę \math{1} lub~\math{2}.  Jeśli suma
    wybranych liczb jest nieparzysta, wygrywa gracz~I; jeśli jest
    parzysta, wygrywa gracz~II.  Gracz, który przegrał, oddaje
    drugiemu kwotę równą sumie wybranych liczb.  Narysujcie macierz
    tej gry.  Jaka jest optymalna strategia każdego z~graczy?  Czy gra
    jest sprawiedliwa?
    \startteacher
      To zadanie możemy opuścić lub omówić pobieżnie bez większej
      szkody.
    \stopteacher
    \startanswer
      Macierz:
      \startformula
        \startmathmatrix[n=2,left={\left(\,},right={\,\right)},align=right]
        \NC -2 \NC  3 \NR
        \NC  3 \NC -4 \NR
        \stopmathmatrix
      \stopformula
      Powyższa macierz nie ma strategii dominujących ani punktów
      siodłowych, trzeba więc zastosować inną metodę.

      Załóżmy, że gracz~I wybiera~\math{1}
      z~prawdopodobieństwem~\math{p} i~\math{2}
      z~prawdopodobieństwem~\math{1-p}.  Wyznaczymy~\math{p} tak, żeby
      gracz~I wygrywał przeciętnie {\em tyle samo}, obojętnie, co
      zrobi gracz~II.

      Jeśli gracz~II wybierze~\math{1}, przeciętna wygrana~I wynosi
      \math{-2p+3(1-p)}.  Jeśli II wybierze~\math{2}, przeciętna
      wygrana~I wynosi~\math{3p-4(1-p)}.  Aby wartości te były równe,
      musi być \math{p=\frac{7}{12}}.  Zatem gracz~I powinien
      wybrać~\math{1} z~prawdopodobieństwem \math{\frac{7}{12}},
      a~\math{2} z~prawdopodobieństwem~\math{\frac{5}{12}}.  Jego
      przeciętna wygrana wynosi
      \math{-2\frac{7}{12}+3\frac{5}{12}=3\frac{7}{12}-4\frac{5}{12}=\frac{1}{12}}.

      Prowadząc podobną analizę dla gracza~II widzimy, że ta sama
      strategia pozwala mu uzyskać przeciętną
      stratę~\math{\frac{1}{12}}.  Wynika stąd, że znalezionej
      strategii nie da się ulepszyć, a~gra nie jest sprawiedliwa
      (preferuje I~gracza).
    \stopanswer
  \stopitem
  \startitem
    Rozważmy wariant gry {\em parzyste czy nieparzyste}, w~którym
    każdy z~graczy wybiera jedną z~liczb~\math{\{0,1,2\}}.  Spróbujcie
    znaleźć optymalną strategię dla pierwszego gracza.
    \startteacher
      To zadanie opuszczamy, chyba że mamy grupę geniuszy.
    \stopteacher
    \startanswer
      Nie ma ani strategii dominujących, ani punktów siodłowych.
      Postępujemy jak w~poprzednim ćwiczeniu; okazuje się, że I~gracz
      powinien wybierać~\math{1}
      z~prawdopodobieństwem~\math{\frac{1}{2}} i~pozostałe liczby
      z~prawdopodobieństwem~\math{\frac{1}{4}}.  Uwaga: ta metoda {\em
        nie działa dla każdej macierzy}!
    \stopanswer
  \stopitem
\stopexercises

\stopchapter

\startchapter[title={Nim-suma liczb całkowitych nieujemnych\time{10--15}}]

\startteacher
  Pojęcia nim-sumy {\em nie będzie} na wykładzie, trzeba je wprowadzić
  na ćwiczeniach.  Jest to działanie w~zbiorze liczb całkowitych
  nieujemnych określone następująco: aby wyliczyć nim-sumę dwóch
  liczb, przeliczamy je na układ dwójkowy, dodajemy pisemnie bez
  przeniesienia (czyli cyfry na każdej pozycji {\em modulo}~\math{2})
  i~wynik interpretujemy znów jako liczbę w~zapisie dwójkowym.
  Przykład:
  \startformula
    6\oplus 12=(110)_2\oplus(1100)_2=(1010)_2=10.
  \stopformula
  (Okazuje się, że to działanie jest łączne i~przemienne, elementem
  neutralnym jest~\math{0}, każdy element jest swoją przeciwnością,
  a~ponadto nim-suma ma fundamentalne znaczenie dla analizy gry {\em
    Nim} i~pewnych innych gier.)
\stopteacher

\startexercises
  \startitem
    Przeliczcie następujące liczby w~zapisie dwójkowym na system
    dziesiątkowy:
%    \startsimplecolumns
    \startitemize[a,columns,two,joinedup][stopper=)]
      \startitem
        \math{(101)_2}
      \stopitem
      \startitem
        \math{(101011)_2}
      \stopitem
    \stopitemize
%    \stopsimplecolumns
  \startanswer
    \startitemize[a,text][stopper=]
      \startitem
        \math{(101)_2=2^0+2^2=1+4=5};
      \stopitem
      \startitem
        \math{(101011)_2=1+2+8+32=43}.
      \stopitem
    \stopitemize
  \stopanswer
  \stopitem
  \startitem
    Przeliczcie następujące liczby na system dwójkowy:
    \startitemize[a,columns,two,joinedup][stopper=)]
      \startitem
        \math{10}
      \stopitem
      \startitem
        \math{77}
      \stopitem
    \stopitemize
  \startanswer
    \startitemize[a]
      \startitem
        \math{10=8+2=(1010)_2};
      \stopitem
      \startitem
        Aby przeliczyć na system dwójkowy liczbę \math{77}, można
        np. dzielić ją przez~\math{2} (z~resztą) tak długo, aż
        otrzymamy zero, a~reszty wypisywać jako kolejne (od prawej
        strony) cyfry dwójkowe:
        \starttabulate[|r|]
          \NC \math{77:2=38~\text{r.}~1}\NR
          \NC \math{38:2=19~\text{r.}~0}\NR
          \NC \math{19:2=9~\text{r.}~1}\NR
          \NC \math{9:2=4~\text{r.}~1}\NR
          \NC \math{4:2=2~\text{r.}~0}\NR
          \NC \math{2:2=1~\text{r.}~0}\NR
          \NC \math{1:2=0~\text{r.}~1}\NR
        \stoptabulate
        Zatem \math{77=(1001101)_2}.
      \stopitem
    \stopitemize
  \stopanswer
  \stopitem
  \startitem
    Znajdźcie następujące nim-sumy:
    \startitemize[a,columns,two,joinedup,broad,intro][stopper=)]
      \startitem
        \math{18\oplus 0}
      \stopitem
      \startitem
        \math{13\oplus 13}
      \stopitem
      \startitem
        \math{10\oplus 77}
      \stopitem
      \startitem
        \math{10\oplus 6\oplus 12}
      \stopitem
    \stopitemize
  \startanswer
    \startitemize[a,text][stopper=]
      \startitem
        \math{18\oplus 0=18};
      \stopitem
      \startitem
        \math{13\oplus 13=0};
      \stopitem
      \startitem
        \math{10\oplus 77=71};
      \stopitem
      \startitem
        \math{10\oplus 6\oplus 12=0} (ten przykład warto policzyć
        przynajmniej dwa razy, w~różnej kolejności!).
      \stopitem
    \stopitemize
  \stopanswer
  \stopitem
\stopexercises
\stopchapter

\startchapter[title={Nim\time{20--25}}]
  \startsubject[title={Zasady gry}]
    Na trzech kupkach kładziemy kamienie (lub żetony, patyczki itp.).
    Gracze wykonują ruchy na przemian.  Ruch polega na zabraniu
    dowolnej liczby kamieni (co najmniej jednego, być może wszystkich)
    z~dowolnej kupki.  Gracz, który weźmie ostatni kamień, wygrywa.
  \stopsubject
  \startsubject[title={Zadania}]
    \startexercises
      \startitem
        Rozegrajcie kilka partii (można zacząć np. od kupek liczących
        \math{5}, \math{7} i~\math{9} kamieni).  Czy potraficie
        odkryć, który gracz ma strategię wygrywającą i~jak powinien
        grać, żeby wygrać?
      \stopitem
      \startitem
        Narysujcie graf {\em Nima} dla rozgrywki, która zaczyna się od
        kupek o~liczebnościach \math{1}, \math{1} i~\math{2}.
        (Wygodnie będzie opisać wierzchołki grafu trójkami liczb,
        np. \math{(1,1,2)}.)  Znajdźcie N-pozycje i~P-pozycje.  Przy
        każdej pozycji zapiszcie nim-sumę liczebności kupek.  Czy
        zauważyliście pewną prawidłowość?
        \startteacher
          {\em N-pozycja} to pozycja, w~której {\em następny} gracz
          (czyli ten, czyja jest kolej) wygra, jeśli będzie grać
          prawidłowo (obojętnie, co zrobi drugi gracz).  {\em
            P-pozycja} to pozycja, w~której {\em poprzedni} gracz
          (czyli ten, który do niej doprowadził) wygra, jeśli będzie
          grać prawidłowo.  Mając graf gry N-pozycje i~P-pozycje
          znajduje się \quotation{indukcją wsteczną}: pozycje końcowe
          to P-pozycje, pozycje, z~których można dojść jednym ruchem
          do P-pozycji to N-pozycje, zaś pozycje, z~których {\em
            każdy} ruch prowadzi do N-pozycji to znów P-pozycje
          (w~szczególności warunek ten spełniają pozycje końcowe!).
        \stopteacher
        \startanswer
          \placefigure[none,middle]{}{%
            \starttikzpicture[x=2.5cm,y=-2cm]
              \def\pos#1#2#3#4#5{$(#1,#2,#3)^{#4}$\rlap{\!,\,#5}}
              \node (112) at (0,0) {\hphantom{\!,\,2}\pos112N2\hphantom{\!,\,2}};
              \node (012) at (-1,1) {\pos012N3};
              \node (102) at (0,1) {\pos102N3};
              \node (111) at (1,1) {\pos111N1};
              \node (002) at (-2,2) {\pos002N2};
              \node (011) at (-1,2) {\pos011P0};
              \node (101) at (1,2) {\pos101P0};
              \node (110) at (2,2) {\pos110P0};
              \node (001) at (-1,3) {\pos001N1};
              \node (010) at (0,3) {\pos010N1};
              \node (100) at (1,3) {\pos100N1};
              \node (000) at (0,4) {\pos000P0};
              \startscope[->]
                \draw (112) -- (012);
                \draw (112) -- (102);
                \draw (112) -- (111);
                \draw (112) -| (110);
                \draw (012) -- (002);
                \draw (012) -- (011);
                \draw (012) -- (010);
                \draw (102) -- (002);
                \draw (102) -- (101);
                \draw (102) -- (100);
                \draw (111) -- (011);
                \draw (111) -- (101);
                \draw (111) -- (110);
                \draw (002) -- (001);
                \draw (002) |- (000);
                \draw (011) -- (001);
                \draw (011) -- (010);
                \draw (101) -- (001);
                \draw (101) -- (100);
                \draw (110) -- (010);
                \draw (110) -- (100);
                \draw (001) -- (000);
                \draw (010) -- (000);
                \draw (100) -- (000);
              \stopscope
            \stoptikzpicture}
          P-pozycje to dokładnie te pozycje, dla których nim-suma
          liczebności kupek wynosi~\math{0}.
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Który gracz ma strategię wygrywającą, jeśli początkowe
        liczebności kupek wynoszą \math{(3,5,9)}?  A~\math{(3,5,6)}?
        (W~jednej z~tych sytuacji pierwszy gracz wygrywa, o~ile będzie
        grał prawidłowo.  Jaki powinien być jego pierwszy ruch?  Ile
        istnieje takich \quotation{wygrywających} ruchów?)
        \startanswer
          \math{3\oplus 5\oplus 9=15\ne 0}, więc jest to N-pozycja
          i~pierwszy gracz wygrywa.  Ponieważ \math{3\oplus 5=6}, może
          wziąć \math{3}~kamienie z~trzeciej kupki (zostawiając na
          niej~\math{6}; przy okazji widać, że \math{3,5,6} jest
          P-pozycją i~gracz startujący z~niej przegrywa).  Ponieważ
          \math{3\oplus 9=10>5}, zabranie żadnej liczby kamieni
          z~drugiej kupki nie pozwala wygrać pierwszemu graczowi;
          analogicznie jest z~pierwszą kupką (\math{5\oplus 9=12>3}).
          Zatem jedyny wygrywający ruch to zabranie \math{3}~kamieni
          z~trzeciej kupki.
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Wymyślcie kilka wariantów {\em Nima}; sprawdźcie, jak się
        w~nie gra.
        \startanswer
          Można zwiększyć liczbę kupek, wprowadzić minimalną lub
          maksymalną liczbę kamieni, jakie można zabrać w~jednym
          ruchu, zmienić warunek wygranej na przeciwny (przegrywa
          gracz, który weźmie ostatni kamień) i~in.  (Jeden
          z~wariantów {\em Nima}, {\em Wythoff}, jest przedmiotem
          kolejnego zadania.)
        \stopanswer
      \stopitem
    \stopexercises
  \stopsubject
\stopchapter

\startchapter[title={Wythoff\time{20--30}}]
  \startsubject[title={Zasady gry}]
    Gra przebiega podobnie jak {\em Nim}, z~dwiema różnicami: są tylko
    dwie kupki kamieni, ale oprócz zabrania dowolnej liczby kamieni
    z~wybranej kupki można też zabrać dowolną liczbę kamieni z~{\em
      obu} kupek na raz, pod warunkiem, że weźmiemy ich {\em tyle
      samo} z~każdej z~nich.
  \stopsubject
  \startsubject[title={Zadania}]
    \startexercises
      \startitem
        Rozegrajcie kilka partii (dla różnych liczebności początkowych
        kupek).  Jakimi wynikami może się zakończyć {\em Wythoff}?
        \startanswer
          Wygraną któregoś z~graczy\ppauza remis jest niemożliwy.
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem[2]
        Znajdźcie przykładowe P-pozycje i N-pozycje.
        \startanswer
          Przykładowe P-pozycje: \math{(1,2)}, \math{(3,5)}.
          Przykładowe N-pozycje: \math{(0,n)}, \math{(n,n)},
          \math{(1,966)}.
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem[3]
        Rozważmy następującą grę.  Na pewnym polu szachownicy
        ustawiamy pionek.  W~każdym ruchu można przesunąć go o~dowolną
        liczbę pól w~dół, w~lewo bądź ukosem w~lewo-dół.  Zauważcie,
        że gra ta w~istocie nie różni się od {\em Wythoffa}.
      \stopitem
      \startitem
        Naszkicujcie graf {\em Wythoffa} dla gry rozpoczynającej się od kupek
        liczących \math{1} i~\math{2} kamieni.
        \startanswer
          \starttikzpicture[x=3cm,y=1cm,baseline=(01.base)]%{($(0,1)-(0,.5ex)$)}]
            \def\pos#1#2#3{\math{(#1,#2)^{#3}}}
            \node (00) at (0,0) {\pos00P};
            \node (10) at (1,0) {\pos10N};
            \node (20) at (2,0) {\pos20N};
            \node (01) at (0,1) {\pos01N};
            \node (11) at (1,1) {\pos11N};
            \node (21) at (2,1) {\pos21P};
            \startscope[->]
              \draw (21) -- (11);
              \draw (21) -- +(0,.5) -| (01);
              \draw (21) -- (10);
              \draw (21) -- (20);
              \draw (11) -- (01);
              \draw (11) -- (00);
              \draw (11) -- (10);
              \draw (01) -- (00);
              \draw (20) -- (10);
              \draw (20) -- +(0,-.5) -| (00);
              \draw (10) -- (00);
            \stopscope
          \stoptikzpicture
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Opiszcie układy początkowe, które gwarantują wygraną II~graczowi
        (czyli P-pozycje).
        \startanswer
          Uwaga: poniższe rozumowanie lepiej widać na obrazku
          (odręcznie).

          Oprócz tych wymienionych w~odpowiedzi do \in{punktu}{.}[2],
          układy takie to m.in. \math{(4,7)}, \math{(6,10)} itd.
          Każdy taki układ powstaje z~poprzedniego w~następujący
          sposób: bierzemy najmniejszą liczbę naturalną~\math{n_1},
          która dotąd nie wystąpiła w~żadnym układzie\ppauza będzie to
          liczba kamieni w~mniejszej kupce; w~większej kupce będzie
          \math{n_2=n_1+d} kamieni, gdzie różnica~\math{d} jest
          o~jeden większa niż różnica liczebności kupek w~poprzednim
          układzie.

          Takie pary liczb mają odpowiednie własności.  Po pierwsze,
          nie można (zabierając kamienie zgodnie z~zasadami) przejść
          od żadnego z~tych układów do żadnego z~poprzednich: ponieważ
          każda liczba naturalna występuje wśród opisanych układów
          dokładnie raz (dlaczego?), zabierając kamienie z~{\em
            jednej} kupki nie jesteśmy w~stanie przejść do jednego
          z~poprzednich układów; ponieważ zaś {\em różnice} również
          się nie powtarzają, zabierając kamienie z~{\em obu} kupek
          również nie dojdziemy do żadnego z~poprzednich układów.

          Po drugie, jeśli startujemy z~układu innego niż któryś
          z~powstałych w~opisany sposób, zawsze możemy dojść do
          któregoś z~nich; najłatwiej zobaczyć to rysując je na
          szachownicy i~korzystając z~wersji {\em Wythoffa} opisanej
          w~\in{punkcie}[3].

          Własności te powodują, że każdy z~opisanych układów prowadzi
          do wygranej gracza, którego ruch akurat przypada, a~każdy
          inny układ do jego przegranej.
        \stopanswer
      \stopitem
    \stopexercises
  \stopsubject
\stopchapter

\startchapter[title={Hex\time{15--20}}]
  \startsubject[title={Zasady gry}]
    Gra toczy się na planszy w~kształcie rombu złożonej z~pól
    w~kształcie sześciokątów foremnych; boki rombu są oznaczone
    kolorem białym bądź czarnym tak, że przeciwległe boki mają ten sam
    kolor.  Gracze na przemian zagrywają swoje piony (gracz~I białe,
    gracz~II czarne) na tych polach; raz położony na planszy pion
    pozostaje w~tym samym miejscu do końca gry.  Wygrywa ten z~graczy,
    który połączy boki rombu w~\quotation{swoim} kolorze łańcuchem
    swoich pionów (tj. ciągiem pionów leżących na polach stykających
    się bokami).

    \def\hexboard#1#2{%
      \coordinate (w) at (1,0);
      \coordinate (e) at ($(2,0)+#1*(3,0)$);
      \coordinate (n) at ($(0,1.155)+(1.5,-0.866)+#1*(1.5,0.866)$);
      \coordinate (s) at ($(0,-1.155)+(1.5,0.866)+#1*(1.5,-0.866)$);
      \coordinate (c) at ($(1.5,0)+#1*(1.5,0)$);
      \filldraw[fill=black!40] (w) -- (c) -- (n) -- cycle;
      \filldraw[fill=black!40] (s) -- (c) -- (e) -- cycle;
      \filldraw[fill=white] (w) -- (c) -- (s) -- cycle;
      \filldraw[fill=white] (n) -- (c) -- (e) -- cycle;
      \foreach \ROW in {1,...,#1}
      \foreach \COL in {1,...,#1}
               {
                 \filldraw[fill=white,
                   shift={($\ROW*(30:1.732)+\COL*(-30:1.732)$)}]
                 (0:1) -- (60:1) -- (120:1) -- (180:1) -- (240:1)
                 -- (300:1) -- cycle;
               }
      \foreach \ROW in {1,...,#1}
        \node at ($\ROW*(30:1.732)+(-30:1.732)+(150:1.732)$)
            {\switchtobodyfont[#2]\Characters{\ROW}};
      \foreach \COL in {1,...,#1}
        \node at ($\COL*(-30:1.732)+(30:1.732)+(-150:1.732)$)
            {\switchtobodyfont[#2]\COL};
    }
    \placefigure[none,middle]{}{%
      \starttikzpicture[scale=0.5]
        \hexboard{5}{6pt}
      \stoptikzpicture}
  \stopsubject
  \startsubject[title={Zadania}]
    \startexercises
      \startitem
        Rozegrajcie kilka partii na planszach różnych wymiarów
        (\math{2\times 2}, \math{3\times 3}, \math{4\times 4},
        \math{5\times 5}).  Który gracz ma strategię wygrywającą na
        małych planszach?
      \stopitem
      \startitem
        Jakimi wynikami może skończyć się {\em Hex}?
        \startanswer
          Wygraną któregoś z~graczy\ppauza remis jest niemożliwy.
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Udowodnijcie, że pierwszy gracz ma strategię wygrywającą na
        planszy dowolnego rozmiaru.
        \startanswer
          Można zastosować rozumowanie zwane {\em kradzieżą
            strategii}.  Gdyby to {\em drugi gracz} miał strategię
          wygrywającą (czyli miał {\em optymalną} odpowiedź na każdy
          ruch pierwszego, prowadzący do wygranej), pierwszy gracz
          mógłby zrobić pierwszy ruch dowolnie, a~potem
          \quotation{zapomnieć} o~nim i~traktować odpowiedź drugiego
          jako \quotation{pierwszy} ruch i~stosować wygrywającą
          strategię (jako \quotation{drugi} gracz).  Gdyby strategia
          ta wymagała postawienia pionu tam, gdzie gracz ten już
          postawił swój pion (np. w~pierwszym ruchu), można postawić
          pion gdziekolwiek.  Ponieważ stojący gdzieś pion pierwszego
          gracza w~niczym nie może {\em pogorszyć} jego sytuacji,
          opisane postępowanie prowadzi do wygranej pierwszego gracza,
          wbrew założeniu, że to drugi ma strategię wygrywającą.
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Który gracz ma strategię wygrywającą na planszy \math{3\times
          3}, jeśli białe nie mogą w~pierwszym ruchu zagrać na środku
        planszy?
        \startteacher
          Zadanie otwarte, do dyskusji/eksperymentów.
        \stopteacher
      \stopitem
    \stopexercises
  \stopsubject
\stopchapter

\startchapter[title={Zakreśl do piętnastu\time{15--20}}]
  \startsubject[title={Zasady gry}]
    Wypisujemy na kartce liczby od~\math{1} do~\math{9}.  Gracze na
    przemian zakreślają liczbę (każdy swoim kolorem).  Gracz, który
    jako pierwszy wśród \quotation{swoich} liczb będzie miał trójkę
    liczb, których suma wynosi~\math{15}, wygrywa.
  \stopsubject
  \startsubject[title={Zadania}]
    \startexercises
      \startitem
        Jakimi wynikami może zakończyć się gra?
        \startanswer
          Wygraną jednego z~graczy lub remisem.
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Rozegrajcie kilka\ppauza kilkanaście gier.  Czy pierwszy gracz
        może zawsze wygrać?  A~drugi?
        \startanswer
          Nie, gdy obaj gracze grają optymalnie, gra kończy się
          remisem.  (Optymalną strategię zobaczymy za chwilę.)
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Wypiszcie wszystkie trójki liczb ze zbioru
        \math{\{1,2,\dots,9\}}, które sumują się do~\math{15}.  Jak
        wypisać je \quotation{po kolei}, czyli tak, by żadnej nie
        pominąć i~żadnej nie wypisać więcej niż jeden raz?  Ile ich
        jest?  Które liczby ile razy występują w~tych trójkach?
        \startanswer
          \math{(1,5,9)}, \math{(1,6,8)}, \math{(2,4,9)},
          \math{(2,5,8)}, \math{(2,6,7)}, \math{(3,4,8)},
          \math{(3,5,7)}, \math{(4,5,6)}.  Każda trójka wypisana jest
          rosnąco i~wypisane są w~porządku leksykograficznym.  Trójek
          jest \math{8}, a~poszczególne liczby występują w~nich:
          \math{5} czterokrotnie, \math{2,4,6,8} trzykrotnie,
          \math{1,3,7,9} dwukrotnie.
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Jak ułożyć liczby od \math{1} do~\math{9}, żeby było łatwiej
        grać, tj. żeby trójki sumujące się do~\math{15} były
        \quotation{dobrze widoczne}?
        \startanswer
          Ułożenie ich np. w~następującym {\em kwadracie magicznym}
          \starttabulate[|c|c|c|][before={},after={}]
            \NC 2 \NC 9 \NC 4 \NC\NR
            \NC 7 \NC 5 \NC 3 \NC\NR
            \NC 6 \NC 1 \NC 8 \NC\NR
          \stoptabulate
          pokazuje, że rozważana gra jest to po prostu
          {\em Kółko i~krzyżyk} w~przebraniu.
        \stopanswer
      \stopitem
    \stopexercises
  \stopsubject
\stopchapter

\startchapter[title={Kółko i~krzyżyk\time{15--20}}]
  \startsubject[title={Zasady gry}]
    Znane każdemu (?).
  \stopsubject
  \startsubject[title={Zadania}]
    \startexercises
      \startitem
        Jakie są możliwe wyniki w~grze w~{\em Kółko i~krzyżyk}?
        \startanswer
          Wygrana jednego z~graczy lub remis.
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Narysujcie dwa początkowe poziomy drzewa gry.  Narysujcie
        jedną lub dwie gałęzie aż do zakończenia gry.
        \startanswer
          (odręcznie)
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Oszacujcie liczbę możliwych rozgrywek w~{\em Kółko i~krzyżyk}.
        \startanswer
          \startitemize[a,packed][stopper=)]
            \startitem
              Prostym ograniczeniem górnym jest \math{9!=362\,880}.
            \stopitem
            \startitem
              Jeśli wziąć pod uwagę symetrie w~początkowych dwóch
              ruchach (w~późniejszych ruchach staje się to bardziej
              skomplikowane), można postępować następująco.  Pierwszy
              ruch można wykonać na \math{3} sposoby (środek, róg,
              bok).  Jeśli pierwszy ruch był w~środku, drugi ruch może
              zostać wykonany na \math{2} sposoby; jeśli w~rogu lub na
              boku, na \math{5} sposobów.  Zatem pierwsze dwa ruchy
              można wykonać na \math{1\cdot 2+2\cdot 5=12} sposobów,
              a~pozostałe siedem na nie więcej niż \math{7!=5040}
              sposobów; zatem wszystkich gier może być najwyżej
              \math{12\cdot 7!=60\,480}.
            \stopitem
            \startitem
              Jeśli wziąć pod uwagę symetrie do trzeciego ruchu,
              analogiczne rozumowanie pokazuje, że liczba możliwych
              rozgrywek nie przekracza
              \startformula
                (2\cdot4+2\cdot4+3\cdot7)\cdot 6!=30\,960.
              \stopformula
            \stopitem
            \startitem
              Powyższa analiza nie bierze pod uwagę ani możliwych
              symetrii w~dalszych ruchach, ani tego, że niektóre gry
              kończą się przed zapełnieniem planszy.  W~2002 roku
              obliczono, że dokładna liczba rozgrywek w~{\em kółko
                i~krzyżyk} wynosi \math{26\,830}.
            \stopitem
          \stopitemize
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Rozegrajcie kilka gier.  Co powinien zrobić pierwszy gracz?
        Jaki ruch pierwszego gracza {\em gwarantuje} mu wygraną,
        niezależnie od tego, jak gra drugi gracz?  A~jaki {\em
          gwarantuje} przegraną, jeśli drugi gracz gra optymalnie?
        \startanswer
          Obojętnie, co zrobi pierwszy gracz w~pierwszym ruchu, jeśli
          w~dalszym ciągu będzie grał optymalnie, nie przegra; jednak
          żaden ruch nie gwarantuje mu wygranej.  (Nie będziemy tego
          rozpisywać/dowodzić.)
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Jak wygląda macierz gry w~{\em Kółko i~krzyżyk}?
        \startanswer
          \quotation{Strategiami} każdego z~graczy będą funkcje, które
          każdej {\em sytuacji} na planszy przyporządkowują {\em
            ruch}.  Oczywiście, różne układy strategii I i~II gracza
          będą prowadzić do różnych wyników gry.
        \stopanswer
      \stopitem
      % \startitem
      %   Opiszcie własności gry w~kółko i~krzyżyk.
      %   \startanswer
      %     Jest dwóch graczy; gracze wykonują ruchy kolejno, a~nie
      %     jednocześnie (chyba, że przez \quotation{ruch} będziemy
      %     rozumieć \quotation{wybór strategii} (w~sensie poprzedniego
      %     zadania)); gracze dysponują pełną informacją; gra kończy się
      %     po skończenie wielu ruchach (maksymalnie dziewięciu);
      %   \stopanswer
      % \stopitem
      \startitem
        Opiszcie optymalną strategię w~{\em Kółko i~krzyżyk} dla I i~II
        gracza.
        \startanswer
          Oto przykładowy zapis strategii optymalnej (co ciekawe,
          działający dla każdego gracza).  W~każdej sytuacji należy
          sprawdzać, czy kolejne punkty mają zastosowanie, i~jeśli
          tak, wykonać opisaną w~nich akcję.
          \startitemize[a,packed][stopper=)]
            \startitem[a]
              Jeśli masz dwa symbole w~rzędzie, a~trzecie miejsce jest
              puste, zakreśl to puste miejsce; {\em wygrywasz}.
            \stopitem
            \startitem
              Jeśli przeciwnik ma dwa symbole w~rzędzie, a~trzecie
              miejsce jest puste, zakreśl to puste miejsce.
            \stopitem
            \startitem
              Jeśli możesz, stwórz {\em zagrożenie}, czyli sytuację,
              w~której masz {\em dwa} rzędy z~dwoma swoimi symbolami
              i~trzecim pustym miejscem.
            \stopitem
            \startitem
              Jeśli w~następnym ruchu przeciwnik będzie w~stanie
              utworzyć {\em zagrożenie}, utwórz sytuację opisaną
              w~\in{punkcie}{)}[a].
            \stopitem
            \startitem
              Jeśli środek jest wolny, zagraj w~nim.
            \stopitem
            \startitem
              Jeśli przeciwnik zagrał w~narożniku i~przeciwległy
              narożnik jest wolny, zagraj w~nim.
            \stopitem
            \startitem
              Jeśli którykolwiek narożnik jest wolny, zagraj w~nim.
            \stopitem
            \startitem
              Zagraj gdziekolwiek.
            \stopitem
          \stopitemize
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Wymyślcie kilka wariantów {\em Kółka i~krzyżyka}.
        \startanswer
          Do znanych wariantów należą np. {\em Kółko i~krzyżyk} na
          planszy \math{4\times 4} (do wygranej trzeba mieć \math{4}
          swoje symbole w~wierszu, kolumnie lub na przekątnej), {\em
            gomoku} (do wygranej trzeba mieć \math{5} symboli, plansza
          ma rozmiar \math{19\times19}), {\em Kółko i~krzyżyk}
          trójwymiarowe (i~w~wyższych wymiarach), {\em Anty-kółko
            i~krzyżyk}, gdzie gracz, który ma trzy symbole w~rzędzie,
          przegrywa, {\em kwantowe Kółko i~krzyżyk} i~wiele innych.
        \stopanswer
      \stopitem
    \stopexercises
  \stopsubject
\stopchapter

\startchapter[title={Kiełki\time{10--15}}]
  \startsubject[title={Zasady gry}]
    Na kartce rysujemy cztery kropki (lub inną ich liczbę).  Gracze
    wykonują ruchy na przemian.  Ruch polega na połączeniu dwóch
    wybranych kropek linią i~narysowaniu na tej linii (ale nie na
    żadnym z~końców) kolejnej kropki, przy czym należy przestrzegać
    następujących dwóch zasad:
    \startitemize[r,text][stopper=]
      \startitem
        linie nie mogą się przecinać,
      \stopitem
      \startitem[kielki2]
        z~jednej kropki mogą wychodzić co najwyżej trzy linie.
      \stopitem
    \stopitemize
    Gracz, który nie może wykonać ruchu zgodnie z~tymi zasadami,
    przegrywa.
  \stopsubject
  \startsubject[title={Zadania}]
    \startexercises
      \startitem
        Rozegrajcie kilka partii.  Czy potraficie grać tak, żeby gra
        się {\em nie} skończyła?
      \stopitem
      \startitem
        Udowodnijcie, że gra w~{\em Kiełki} zawsze kończy się po skończenie
        wielu ruchach.
        \startanswer
          Na początku jest \math{4\times 3=12} możliwych końców linii,
          bo z~każdej z~\math{4} kropek mogą wychodzić
          maksymalnie~\math{3} linie.  W~każdym ruchu, rysując linię,
          zmniejszamy tę liczbę o~\math{2} (\quotation{wykorzystujemy}
          dwa możliwe końce) i~zwiększamy o~\math{1} (bo dorysowana
          kropka może być końcem tylko dla jednej linii, zgodnie
          z~\in{zasadą}[kielki2]).
        \stopanswer
      \stopitem
    \stopexercises
  \stopsubject
\stopchapter

\startchapter[title={Gry w~kości\time{10--20}}]
  \startexercises
    \startitem
      Rozważmy następującą grę.  Rzucamy kością (symetryczną,
      sześcienną), po czym, jeśli chcemy, rzucamy ponownie (ale
      najwyżej raz).
      \startitemize[a,packed][stopper=)]
        \startitem
          Jak będzie wyglądała macierz tej gry?
          \startanswer
            W~wierszach będą znajdować się {\em strategie gracza},
            czyli \quotation{przepisy} określające sposób postępowania
            (tj. czy przerzucamy kość czy nie) dla każdego wyniku
            pierwszego rzutu.  W~kolumnach będą znajdować się {\em
              strategie przyrody}, czyli wyniki dwóch kolejnych rzutów
            kością.
          \stopanswer
        \stopitem
        \startitem
          Ile jest możliwych strategii gracza, a~ile przyrody w~tej
          grze?
          \startanswer
            Gracz ma \math{2^6=64} strategie: dla każdego z~sześciu
            możliwych wyników niezależnie określamy, czy przerzucamy
            kość, czy nie (zasada mnożenia lub wariacje
            z~powtórzeniami\ppauza sześć razy wybieramy niezależnie
            jedną z~dwóch możliwości).  Przyroda ma \math{6^2=36}
            strategii.
          \stopanswer
        \stopitem
        \startitem
          Rozważmy następującą strategię: \quotation{jeśli wypadnie
            \math{k} lub mniej oczek, przerzucamy kość, w~przeciwnym
            wypadku pozostajemy przy wyniki pierwszego rzutu}.  Jakie
          powinno być \math{k}, aby wartość oczekiwana wyniku była
          największa?
          \startanswer
            Wartość oczekiwana wynosi
            \startformula
              k(\tfrac{1}{6^2}1+\cdots+\tfrac{1}{6^2}6)
                +\bigl(\tfrac{1}{6}(k+1)+\cdots+\tfrac{1}{6}6\bigr)
              =\tfrac{1}{12}(-k^2+6k+42),
            \stopformula
            a~więc osiąga maksimum dla \math{k_{\rm max}=3}.
          \stopanswer
        \stopitem
      \stopitemize
    \stopitem
    \startitem
      Rozważmy podobną grę, w~której można przerzucić kość co najwyżej
      dwa razy.
      \startitemize[a,packed][stopper=)]
        \startitem
          Ile jest możliwych strategii gracza w~tej grze?
          \startanswer
            Po pierwszym rzucie mamy tym razem nie dwie możliwości
            (pozostanie bądź przerzucenie), ale \math{1+2^6}
            możliwości: pozostanie (jeden sposób) bądź kontynuacja
            (\math{2^6} sposobów na mocy poprzedniego zadania).
            Ponieważ dalsze postępowanie określamy niezależnie dla
            każdego z~sześciu wyników, analogicznie jak poprzednio
            mamy
            \startformula
              (1+2^6)^6=75\,418\,890\,625
            \stopformula
            możliwych strategii.
          \stopanswer
        \stopitem
        \startitem
          Która strategia jest korzystniejsza (daje większą wartość
          oczekiwaną): \quotation{rzucamy tak długo, aż wypadnie
            więcej niż \math{3} oczka, ale nie więcej niż trzy razy},
          czy \quotation{jeśli w~pierwszym rzucie wypadła szóstka,
            pozostajemy przy tym wyniku, w~przeciwnym przypadku
            rzucamy drugi raz; jeśli wówczas wypadnie więcej niż trzy
            oczka, pozostajemy przy tym wyniku, a~jeśli nie, rzucamy
            po raz ostatni}?
          \startanswer
            Pierwsza strategia daje wartość oczekiwaną
            \math{4\frac{5}{8}=4{,}625}, zaś druga
            \math{4\frac{13}{24}\approx 4{,}542}.
          \stopanswer
        \stopitem
      \stopitemize
    \stopitem
    \startitem
      Rozważmy następującą grę: rzucamy parą kości, po czym możemy raz
      przerzucić jedną, drugą lub obie kości.  Wynikiem jest suma
      oczek na obu kościach, chyba, że wypadły dwie szóstki, wówczas
      wynik wynosi zero.  Jaką zaproponowalibyście strategię w~tej
      grze?
      \startanswer
        Pytanie otwarte, nie jesteśmy w~stanie łatwo wyliczyć
        strategii maksymalizującej wartość oczekiwaną wyniku w~tej
        grze.  Warto przedyskutować kilka problemów związanych z~tą
        grą, np. liczbę możliwych strategii (można przyjąć, że kości
        są rozróżnialne lub nie!), sposób postępowania, gdy wypadnie
        jedna szóstka (np. gdy przerzucimy tylko drugą kość, wartość
        oczekiwana wyniesie
        \startformula
          \tfrac{1}{6}(6+1)+\cdots+\tfrac{1}{6}(6+5)+\tfrac{1}{6}\cdot0
          =7\tfrac{1}{2}\text{,}
        \stopformula
        więc jeśli na drugiej kości wypadło więcej niż~\math{1}, nie
        warto jej przerzucać), wariant, w~którym za dwie szóstki
        otrzymujemy \math{-6} punktów.
      \stopanswer
    \stopitem
  \stopexercises
\stopchapter

\startchapter[title={Projektowanie własnej gry\time{reszta
      czasu, \hskip 0pt plus 4em\penalty20\hskip 0pt plus -4em\relax 20--60}}]
  \startsubject[title={Początkowe zasady gry}]
    Gracze są właścicielami fabryk znajdujących się nad rzeką.
    Produkcja jest związana z~powstawaniem odpadów, które właściciele
    wylewają do rzeki.  Gdy poziom zanieczyszczeń okaże się zbyt duży,
    następuje kontrola i~wszystkie fabryki zostają zamknięte.  Wygrywa
    ten, który zdołał do tego momentu wyprodukować najwięcej (zarobić
    najwięcej pieniędzy).

    We wspólnej puli kładziemy kamienie (patyczki, sztony...)
    w~liczbie dziesięciokrotnie większej od liczby graczy.  Gracze
    kolejno rzucają kostką.  Po rzucie każdy gracz zabiera tyle
    kamieni, ile wyrzucił oczek.  Gdy kamienie się skończą, wygrywa
    gracz, który zebrał ich najwięcej.
  \stopsubject
  \startsubject[title={Zadania}]
    \startexercises[2*broad]
      \startitem
        Wymyślcie tytuł dla tej gry.
      \stopitem
      \startitem
        Powyższe zasady zawierają pewną niejasność.  Znajdźcie ją.
        \startanswer
          Nie wiadomo, co zrobić, gdy gracz kończący grę ma wziąć {\em
            więcej} kamieni, niż pozostało w~puli: czy powinien wziąć
          tyle, ile ich tam jest, czy wpierw uzupełnić pulę
          odpowiednią liczbą kamieni i~wziąć tyle, ile wskazuje
          kostka.
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Czy ta gra zawsze się skończy?  Jaka jest minimalna, średnia
        i~maksymalna liczba ruchów?
        \startanswer
          Tak\ppauza jest skończenie wiele kamieni, w~każdym ruchu
          zabiera się co najmniej jeden.  Najmniej ruchów będzie, gdy
          wszyscy będą wyrzucali szóstki: \math{\lceiling
            10n/6\rceiling}, gdzie \math{n} to liczba graczy.
          Najwięcej ruchów (\math{10n}) będzie, gdy wszyscy będą
          wyrzucali jedynki.  Średnio będzie \math{\lceiling
            10n/3{,}5\rceiling} ruchów.
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Powyżej opisana gra jest bardzo nudna.  Dlaczego?
        \startanswer
          Ponieważ gracze nie podejmują żadnych decyzji, wszystko
          rozstrzygają rzuty kośćmi.
        \stopanswer
      \stopitem
      \startitem
        Jak można ulepszyć tę grę?
        \startanswer
          Oto (otwarta) lista pomysłów (niektóre z~nich są {\em złe},
          ale niech uczniowie sami do tego dojdą!).  Warto zwrócić
          uwagę, że {\em dobry} pomysł oznacza nie tylko, że gra staje
          się interesująca (trzeba podejmować niełatwe decyzje,
          zdarzają się nieoczekiwane zwroty akcji itp.), ale też ma
          uzsadanienie w~fabule gry.  Każdy pomysł wymaga też
          sprawdzenia\ppauza przetestowania na kilku (w~rzeczywistości
          kilkudziesięciu czy kilkuset) rozgrywkach i~ewentualnej
          modyfikacji (a~czasem porzucenia).
          \startitemize[packed]
            \startitem
              Zmiana liczby kamieni.
            \stopitem
            \startitem
              Zmiana liczby kości (np. każdy gracz rzuca trzema kośćmi).
            \stopitem
            \startitem
              Możliwość kilkukrotnego (np. trzykrotnego) powtórzenia
              rzutu wybranymi kośćmi.
            \stopitem
            \startitem
              Zabieranie kamieni w~innej liczbie niż wynik na kostce
              (lub suma wyników): można rozważyć iloczyn, kwadrat lub
              pierwiastek sumy, sumę różnic między wynikami lub
              jeszcze inną funkcję.  (Niektóre funkcje nadają się do
              tego kiepsko, np. kwadrat sumy prowadzi do dość dużych
              liczb, co jest niewygodne.)
            \stopitem
            \startitem
              Wprowadzenie układów {\em bonusowych}, np. dwa lub trzy
              identyczne wyniki lub trzy kolejne liczby naturalne na
              kostkach mogą dać efekt specjalny (np. odebranie
              zebranych kamieni \ppauza w~ustalonej liczbie,
              np. zależnej od liczby oczek\ppauza innym graczom,
              zmuszenie innych graczy do oddania kamieni do puli
              i~in.)
            \stopitem
            \startitem
              Wprowadzenie układów {\em malusowych}, np. każda szóstka
              może oznaczać konieczność oddania do puli lub innym
              graczom pewnej liczby kamieni itp.
            \stopitem
            \startitem
              Gracze mogą wykonywać ruchy równocześnie zamiast
              kolejno.  (Trzeba ustalić, jak wtedy postępować, jeśli
              w~trakcie ruchu skończą się kamienie w~puli, oraz jakie
              dokładnie informacje są jawne dla pozostałych graczy
              w~czasie ruchu.)
            \stopitem
            \startitem
              Można zmienić warunki zwycięstwa, np. wygrywać może
              gracz, który zebrał najwięcej kamieni, ale z~wyłączeniem
              tego, który spowodował wyczerpanie puli.
            \stopitem
            \startitem
              Przy jednym rodzaju kamieni zarobione pieniądze
              i~usunięte zanieczyszczenia wyrażają się tą samą
              liczbą.  Można wprowadzić dwa rodzaje kamieni
              i~zróżnicować te liczby, ustalając, że np. \math{n}
              zanieczyszczeń jest związane z~zarobieniem \math{n^2},
              \math{\sqrt{n}} lub inną ilością pieniędzy.
            \stopitem
          \stopitemize
        \stopanswer
      \stopitem
    \stopexercises
  \stopsubject
\stopchapter


\startnotmode[nauczyciel]

\page
\setuppagenumber[state=stop]

\midaligned{%
  \starttikzpicture[scale=1.8,rotate=-30]
    \hexboard{2}{10pt}
  \stoptikzpicture
}
\par\blank[6*big]
\midaligned{%
  \starttikzpicture[scale=1.8,rotate=-30]
    \hexboard{3}{10pt}
  \stoptikzpicture
}
\page
\midaligned{%
  \starttikzpicture[scale=1.8,rotate=60]
    \hexboard{4}{10pt}
  \stoptikzpicture
}
\page
\centerbox{%
  \starttikzpicture[scale=1.8,rotate=60]
    \hexboard{5}{10pt}
  \stoptikzpicture
}
\stopnotmode
\stoptext
