* A strange problem, probably with \startitemize[columns]
@ 2012-07-28 23:23 Marcin Borkowski
0 siblings, 0 replies; only message in thread
From: Marcin Borkowski @ 2012-07-28 23:23 UTC (permalink / raw)
To: ConTeXt mailing list
[-- Attachment #1: Type: text/plain, Size: 570 bytes --]
Hello,
I am a bit afraid to gain a nickname "the itemize-column guy", but it
seems that again there's a problem with this feature... Unfortunately,
I did not manage to isolate the problem, so maybe it lies somewhere
completely else. Anyway, sorry for spamming the list again with a
complete file of one of my documents (it's all Polish to most of you
anyway;)), but it compiles succesfully, but very strangely (it looks
like \vsize > \paperheight) on newest ConTeXt (it used to look just
fine about three weeks ago).
Any clues?
--
Marcin Borkowski
http://mbork.pl
[-- Warning: decoded text below may be mangled, UTF-8 assumed --]
[-- Attachment #2: gry-cwiczenia.tex --]
[-- Type: text/x-tex, Size: 46625 bytes --]
% Ćwiczenia na Newtona o grach
\mainlanguage[pl]
\usetypescript[pagella]
\setupbodyfont[pagella]
\usemodule[tikz]
\usetikzlibrary[calc]
\let\origstarttikzpicture=\starttikzpicture
\let\origstoptikzpicture=\stoptikzpicture
\def\starttikzpicture{\hbox\bgroup\origstarttikzpicture}
\def\stoptikzpicture {\origstoptikzpicture\egroup}
\def\todo#1{{\em \kap{do dopisania}: #1}}
%\setupinteraction[state=start]
\enablemode[nauczyciel]
%\disablemode[nauczyciel]
\def\startteacher{\grabbufferdata[teacher][startteacher][stopteacher]}
\doifmodeelse{nauczyciel}{\def\stopteacher{\par{\switchtobodyfont[small]\getbuffer[teacher]\par}}}{\def\stopteacher{}}
\def\startanswer{\par\dostartbuffer[answer][startanswer][stopanswer]}
\doifmodeelse{nauczyciel}{\def\stopanswer{{\switchtobodyfont[small]\blank[small]{\sl Odpowiedź.} \getbuffer[answer]\par}}}{\def\stopanswer{}}
\def\putdotafter#1{#1.}
\setuphead[subject][style=bold,after={},alternative=text,distance=0.25em,textcommand=\putdotafter]
%\setuphead[section][numbercommand=\putdotafter]
\setuphead[chapter][sectionstopper=.,page=no]
\def\teacheronly#1{\doifmode{nauczyciel}{#1}}
\def\time#1{\doifmode{nauczyciel}{\removeunwantedspaces
\hskip 0pt plus 6em\penalty20\ \hskip 0pt plus -6em (#1~minut)}}
\defineitemgroup[exercises]
\setupitemgroup[exercises][1][n,broad,intro][left={\headnumber[chapter]},before={},inbetween={\blank[medium]}]
\def\ppauza{\unskip\kern.2em--\hskip.2em\ignorespaces}
\starttext
\noheaderandfooterlines
\startalignment[middle]
\tfd Gry (materiały na ćwiczenia w~czwartek)
\par\blank[big]
\stopalignment
\startnotmode[nauczyciel]
\placefigure[bottom,none]{}{%
\hbox to \textwidth{
\externalfigure[logo-1-t][height=1.5cm]\hfil
\externalfigure[logo-2-t][height=1.5cm]\hfil
\externalfigure[logo-3-t][height=1.5cm]
}}
\stopnotmode
\completecontent[alternative=a,pagestyle=slanted,distance=2pt]
\page
\startchapter[title={Gry macierzowe\time{15--20}}]
\startexercises
\startitem
Jakie są strategie optymalne dla obu graczy w~grze o~poniższej
macierzy?
\startformula
\startmathmatrix[n=2,left={\left(\,},right={\,\right)},align=right]
\NC 1 \NC 2 \NR
\NC 3 \NC 4 \NR
\stopmathmatrix
\stopformula
\startteacher
Macierz interpretujemy następująco: I~gracz wybiera wiersz,
II~gracz wybiera kolumnę (obaj robią to równocześnie), po czym
II~gracz wypłaca pierwszemu kwotę z~przecięcia wybranego wiersza
i~kolumny (gra o~sumie zero: wygrana jednego gracza jest równa
przegranej drugiego).
\stopteacher
\startanswer
Pierwszy gracz, wybierając drugi wiersz, w~każdym wypadku
wygrywa więcej, niż gdyby wybrał pierwszy; powinien więc wybrać
drugi wiersz (dominujący). Drugi gracz, wybierając pierwszą
kolumnę, w~każdym przypadku traci mniej, niż gdyby wybrał drugą;
powinien więc wybrać pierwszą (dominującą) kolumnę.
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Rozważmy grę z~następującą macierzą:
\startformula
\startmathmatrix[n=3,left={\left(\,},right={\,\right)},align=right]
\NC 4 \NC 1 \NC -1 \NR
\NC 0 \NC 1 \NC 6 \NR
\NC 3 \NC 2 \NC 5 \NR
\stopmathmatrix
\stopformula
Jaka jest optymalna strategia dla każdego z~graczy?
\startanswer
Żaden wiersz ani kolumna nie są dominujące, ale ponieważ
\math{2} w~trzecim rzędzie i~drugiej kolumnie jest {\em
najmniejszą} wartością w~swoim rzędzie i~{\em największą}
wartością w~swojej kolumnie, optymalną strategią dla I~gracza
jest trzecia (wygra co najmniej~\math{2} niezależnie od
strategii II~gracza), a~dla II~gracza druga (przegra co
najwyżej~\math{2} niezależnie od strategii I~gracza).
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Gra {\em parzyste czy nieparzyste} polega na tym, że dwóch graczy
wybiera (równocześnie) liczbę \math{1} lub~\math{2}. Jeśli suma
wybranych liczb jest nieparzysta, wygrywa gracz~I; jeśli jest
parzysta, wygrywa gracz~II. Gracz, który przegrał, oddaje
drugiemu kwotę równą sumie wybranych liczb. Narysujcie macierz
tej gry. Jaka jest optymalna strategia każdego z~graczy? Czy gra
jest sprawiedliwa?
\startteacher
To zadanie możemy opuścić lub omówić pobieżnie bez większej
szkody.
\stopteacher
\startanswer
Macierz:
\startformula
\startmathmatrix[n=2,left={\left(\,},right={\,\right)},align=right]
\NC -2 \NC 3 \NR
\NC 3 \NC -4 \NR
\stopmathmatrix
\stopformula
Powyższa macierz nie ma strategii dominujących ani punktów
siodłowych, trzeba więc zastosować inną metodę.
Załóżmy, że gracz~I wybiera~\math{1}
z~prawdopodobieństwem~\math{p} i~\math{2}
z~prawdopodobieństwem~\math{1-p}. Wyznaczymy~\math{p} tak, żeby
gracz~I wygrywał przeciętnie {\em tyle samo}, obojętnie, co
zrobi gracz~II.
Jeśli gracz~II wybierze~\math{1}, przeciętna wygrana~I wynosi
\math{-2p+3(1-p)}. Jeśli II wybierze~\math{2}, przeciętna
wygrana~I wynosi~\math{3p-4(1-p)}. Aby wartości te były równe,
musi być \math{p=\frac{7}{12}}. Zatem gracz~I powinien
wybrać~\math{1} z~prawdopodobieństwem \math{\frac{7}{12}},
a~\math{2} z~prawdopodobieństwem~\math{\frac{5}{12}}. Jego
przeciętna wygrana wynosi
\math{-2\frac{7}{12}+3\frac{5}{12}=3\frac{7}{12}-4\frac{5}{12}=\frac{1}{12}}.
Prowadząc podobną analizę dla gracza~II widzimy, że ta sama
strategia pozwala mu uzyskać przeciętną
stratę~\math{\frac{1}{12}}. Wynika stąd, że znalezionej
strategii nie da się ulepszyć, a~gra nie jest sprawiedliwa
(preferuje I~gracza).
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Rozważmy wariant gry {\em parzyste czy nieparzyste}, w~którym
każdy z~graczy wybiera jedną z~liczb~\math{\{0,1,2\}}. Spróbujcie
znaleźć optymalną strategię dla pierwszego gracza.
\startteacher
To zadanie opuszczamy, chyba że mamy grupę geniuszy.
\stopteacher
\startanswer
Nie ma ani strategii dominujących, ani punktów siodłowych.
Postępujemy jak w~poprzednim ćwiczeniu; okazuje się, że I~gracz
powinien wybierać~\math{1}
z~prawdopodobieństwem~\math{\frac{1}{2}} i~pozostałe liczby
z~prawdopodobieństwem~\math{\frac{1}{4}}. Uwaga: ta metoda {\em
nie działa dla każdej macierzy}!
\stopanswer
\stopitem
\stopexercises
\stopchapter
\startchapter[title={Nim-suma liczb całkowitych nieujemnych\time{10--15}}]
\startteacher
Pojęcia nim-sumy {\em nie będzie} na wykładzie, trzeba je wprowadzić
na ćwiczeniach. Jest to działanie w~zbiorze liczb całkowitych
nieujemnych określone następująco: aby wyliczyć nim-sumę dwóch
liczb, przeliczamy je na układ dwójkowy, dodajemy pisemnie bez
przeniesienia (czyli cyfry na każdej pozycji {\em modulo}~\math{2})
i~wynik interpretujemy znów jako liczbę w~zapisie dwójkowym.
Przykład:
\startformula
6\oplus 12=(110)_2\oplus(1100)_2=(1010)_2=10.
\stopformula
(Okazuje się, że to działanie jest łączne i~przemienne, elementem
neutralnym jest~\math{0}, każdy element jest swoją przeciwnością,
a~ponadto nim-suma ma fundamentalne znaczenie dla analizy gry {\em
Nim} i~pewnych innych gier.)
\stopteacher
\startexercises
\startitem
Przeliczcie następujące liczby w~zapisie dwójkowym na system
dziesiątkowy:
% \startsimplecolumns
\startitemize[a,columns,two,joinedup][stopper=)]
\startitem
\math{(101)_2}
\stopitem
\startitem
\math{(101011)_2}
\stopitem
\stopitemize
% \stopsimplecolumns
\startanswer
\startitemize[a,text][stopper=]
\startitem
\math{(101)_2=2^0+2^2=1+4=5};
\stopitem
\startitem
\math{(101011)_2=1+2+8+32=43}.
\stopitem
\stopitemize
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Przeliczcie następujące liczby na system dwójkowy:
\startitemize[a,columns,two,joinedup][stopper=)]
\startitem
\math{10}
\stopitem
\startitem
\math{77}
\stopitem
\stopitemize
\startanswer
\startitemize[a]
\startitem
\math{10=8+2=(1010)_2};
\stopitem
\startitem
Aby przeliczyć na system dwójkowy liczbę \math{77}, można
np. dzielić ją przez~\math{2} (z~resztą) tak długo, aż
otrzymamy zero, a~reszty wypisywać jako kolejne (od prawej
strony) cyfry dwójkowe:
\starttabulate[|r|]
\NC \math{77:2=38~\text{r.}~1}\NR
\NC \math{38:2=19~\text{r.}~0}\NR
\NC \math{19:2=9~\text{r.}~1}\NR
\NC \math{9:2=4~\text{r.}~1}\NR
\NC \math{4:2=2~\text{r.}~0}\NR
\NC \math{2:2=1~\text{r.}~0}\NR
\NC \math{1:2=0~\text{r.}~1}\NR
\stoptabulate
Zatem \math{77=(1001101)_2}.
\stopitem
\stopitemize
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Znajdźcie następujące nim-sumy:
\startitemize[a,columns,two,joinedup,broad,intro][stopper=)]
\startitem
\math{18\oplus 0}
\stopitem
\startitem
\math{13\oplus 13}
\stopitem
\startitem
\math{10\oplus 77}
\stopitem
\startitem
\math{10\oplus 6\oplus 12}
\stopitem
\stopitemize
\startanswer
\startitemize[a,text][stopper=]
\startitem
\math{18\oplus 0=18};
\stopitem
\startitem
\math{13\oplus 13=0};
\stopitem
\startitem
\math{10\oplus 77=71};
\stopitem
\startitem
\math{10\oplus 6\oplus 12=0} (ten przykład warto policzyć
przynajmniej dwa razy, w~różnej kolejności!).
\stopitem
\stopitemize
\stopanswer
\stopitem
\stopexercises
\stopchapter
\startchapter[title={Nim\time{20--25}}]
\startsubject[title={Zasady gry}]
Na trzech kupkach kładziemy kamienie (lub żetony, patyczki itp.).
Gracze wykonują ruchy na przemian. Ruch polega na zabraniu
dowolnej liczby kamieni (co najmniej jednego, być może wszystkich)
z~dowolnej kupki. Gracz, który weźmie ostatni kamień, wygrywa.
\stopsubject
\startsubject[title={Zadania}]
\startexercises
\startitem
Rozegrajcie kilka partii (można zacząć np. od kupek liczących
\math{5}, \math{7} i~\math{9} kamieni). Czy potraficie
odkryć, który gracz ma strategię wygrywającą i~jak powinien
grać, żeby wygrać?
\stopitem
\startitem
Narysujcie graf {\em Nima} dla rozgrywki, która zaczyna się od
kupek o~liczebnościach \math{1}, \math{1} i~\math{2}.
(Wygodnie będzie opisać wierzchołki grafu trójkami liczb,
np. \math{(1,1,2)}.) Znajdźcie N-pozycje i~P-pozycje. Przy
każdej pozycji zapiszcie nim-sumę liczebności kupek. Czy
zauważyliście pewną prawidłowość?
\startteacher
{\em N-pozycja} to pozycja, w~której {\em następny} gracz
(czyli ten, czyja jest kolej) wygra, jeśli będzie grać
prawidłowo (obojętnie, co zrobi drugi gracz). {\em
P-pozycja} to pozycja, w~której {\em poprzedni} gracz
(czyli ten, który do niej doprowadził) wygra, jeśli będzie
grać prawidłowo. Mając graf gry N-pozycje i~P-pozycje
znajduje się \quotation{indukcją wsteczną}: pozycje końcowe
to P-pozycje, pozycje, z~których można dojść jednym ruchem
do P-pozycji to N-pozycje, zaś pozycje, z~których {\em
każdy} ruch prowadzi do N-pozycji to znów P-pozycje
(w~szczególności warunek ten spełniają pozycje końcowe!).
\stopteacher
\startanswer
\placefigure[none,middle]{}{%
\starttikzpicture[x=2.5cm,y=-2cm]
\def\pos#1#2#3#4#5{$(#1,#2,#3)^{#4}$\rlap{\!,\,#5}}
\node (112) at (0,0) {\hphantom{\!,\,2}\pos112N2\hphantom{\!,\,2}};
\node (012) at (-1,1) {\pos012N3};
\node (102) at (0,1) {\pos102N3};
\node (111) at (1,1) {\pos111N1};
\node (002) at (-2,2) {\pos002N2};
\node (011) at (-1,2) {\pos011P0};
\node (101) at (1,2) {\pos101P0};
\node (110) at (2,2) {\pos110P0};
\node (001) at (-1,3) {\pos001N1};
\node (010) at (0,3) {\pos010N1};
\node (100) at (1,3) {\pos100N1};
\node (000) at (0,4) {\pos000P0};
\startscope[->]
\draw (112) -- (012);
\draw (112) -- (102);
\draw (112) -- (111);
\draw (112) -| (110);
\draw (012) -- (002);
\draw (012) -- (011);
\draw (012) -- (010);
\draw (102) -- (002);
\draw (102) -- (101);
\draw (102) -- (100);
\draw (111) -- (011);
\draw (111) -- (101);
\draw (111) -- (110);
\draw (002) -- (001);
\draw (002) |- (000);
\draw (011) -- (001);
\draw (011) -- (010);
\draw (101) -- (001);
\draw (101) -- (100);
\draw (110) -- (010);
\draw (110) -- (100);
\draw (001) -- (000);
\draw (010) -- (000);
\draw (100) -- (000);
\stopscope
\stoptikzpicture}
P-pozycje to dokładnie te pozycje, dla których nim-suma
liczebności kupek wynosi~\math{0}.
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Który gracz ma strategię wygrywającą, jeśli początkowe
liczebności kupek wynoszą \math{(3,5,9)}? A~\math{(3,5,6)}?
(W~jednej z~tych sytuacji pierwszy gracz wygrywa, o~ile będzie
grał prawidłowo. Jaki powinien być jego pierwszy ruch? Ile
istnieje takich \quotation{wygrywających} ruchów?)
\startanswer
\math{3\oplus 5\oplus 9=15\ne 0}, więc jest to N-pozycja
i~pierwszy gracz wygrywa. Ponieważ \math{3\oplus 5=6}, może
wziąć \math{3}~kamienie z~trzeciej kupki (zostawiając na
niej~\math{6}; przy okazji widać, że \math{3,5,6} jest
P-pozycją i~gracz startujący z~niej przegrywa). Ponieważ
\math{3\oplus 9=10>5}, zabranie żadnej liczby kamieni
z~drugiej kupki nie pozwala wygrać pierwszemu graczowi;
analogicznie jest z~pierwszą kupką (\math{5\oplus 9=12>3}).
Zatem jedyny wygrywający ruch to zabranie \math{3}~kamieni
z~trzeciej kupki.
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Wymyślcie kilka wariantów {\em Nima}; sprawdźcie, jak się
w~nie gra.
\startanswer
Można zwiększyć liczbę kupek, wprowadzić minimalną lub
maksymalną liczbę kamieni, jakie można zabrać w~jednym
ruchu, zmienić warunek wygranej na przeciwny (przegrywa
gracz, który weźmie ostatni kamień) i~in. (Jeden
z~wariantów {\em Nima}, {\em Wythoff}, jest przedmiotem
kolejnego zadania.)
\stopanswer
\stopitem
\stopexercises
\stopsubject
\stopchapter
\startchapter[title={Wythoff\time{20--30}}]
\startsubject[title={Zasady gry}]
Gra przebiega podobnie jak {\em Nim}, z~dwiema różnicami: są tylko
dwie kupki kamieni, ale oprócz zabrania dowolnej liczby kamieni
z~wybranej kupki można też zabrać dowolną liczbę kamieni z~{\em
obu} kupek na raz, pod warunkiem, że weźmiemy ich {\em tyle
samo} z~każdej z~nich.
\stopsubject
\startsubject[title={Zadania}]
\startexercises
\startitem
Rozegrajcie kilka partii (dla różnych liczebności początkowych
kupek). Jakimi wynikami może się zakończyć {\em Wythoff}?
\startanswer
Wygraną któregoś z~graczy\ppauza remis jest niemożliwy.
\stopanswer
\stopitem
\startitem[2]
Znajdźcie przykładowe P-pozycje i N-pozycje.
\startanswer
Przykładowe P-pozycje: \math{(1,2)}, \math{(3,5)}.
Przykładowe N-pozycje: \math{(0,n)}, \math{(n,n)},
\math{(1,966)}.
\stopanswer
\stopitem
\startitem[3]
Rozważmy następującą grę. Na pewnym polu szachownicy
ustawiamy pionek. W~każdym ruchu można przesunąć go o~dowolną
liczbę pól w~dół, w~lewo bądź ukosem w~lewo-dół. Zauważcie,
że gra ta w~istocie nie różni się od {\em Wythoffa}.
\stopitem
\startitem
Naszkicujcie graf {\em Wythoffa} dla gry rozpoczynającej się od kupek
liczących \math{1} i~\math{2} kamieni.
\startanswer
\starttikzpicture[x=3cm,y=1cm,baseline=(01.base)]%{($(0,1)-(0,.5ex)$)}]
\def\pos#1#2#3{\math{(#1,#2)^{#3}}}
\node (00) at (0,0) {\pos00P};
\node (10) at (1,0) {\pos10N};
\node (20) at (2,0) {\pos20N};
\node (01) at (0,1) {\pos01N};
\node (11) at (1,1) {\pos11N};
\node (21) at (2,1) {\pos21P};
\startscope[->]
\draw (21) -- (11);
\draw (21) -- +(0,.5) -| (01);
\draw (21) -- (10);
\draw (21) -- (20);
\draw (11) -- (01);
\draw (11) -- (00);
\draw (11) -- (10);
\draw (01) -- (00);
\draw (20) -- (10);
\draw (20) -- +(0,-.5) -| (00);
\draw (10) -- (00);
\stopscope
\stoptikzpicture
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Opiszcie układy początkowe, które gwarantują wygraną II~graczowi
(czyli P-pozycje).
\startanswer
Uwaga: poniższe rozumowanie lepiej widać na obrazku
(odręcznie).
Oprócz tych wymienionych w~odpowiedzi do \in{punktu}{.}[2],
układy takie to m.in. \math{(4,7)}, \math{(6,10)} itd.
Każdy taki układ powstaje z~poprzedniego w~następujący
sposób: bierzemy najmniejszą liczbę naturalną~\math{n_1},
która dotąd nie wystąpiła w~żadnym układzie\ppauza będzie to
liczba kamieni w~mniejszej kupce; w~większej kupce będzie
\math{n_2=n_1+d} kamieni, gdzie różnica~\math{d} jest
o~jeden większa niż różnica liczebności kupek w~poprzednim
układzie.
Takie pary liczb mają odpowiednie własności. Po pierwsze,
nie można (zabierając kamienie zgodnie z~zasadami) przejść
od żadnego z~tych układów do żadnego z~poprzednich: ponieważ
każda liczba naturalna występuje wśród opisanych układów
dokładnie raz (dlaczego?), zabierając kamienie z~{\em
jednej} kupki nie jesteśmy w~stanie przejść do jednego
z~poprzednich układów; ponieważ zaś {\em różnice} również
się nie powtarzają, zabierając kamienie z~{\em obu} kupek
również nie dojdziemy do żadnego z~poprzednich układów.
Po drugie, jeśli startujemy z~układu innego niż któryś
z~powstałych w~opisany sposób, zawsze możemy dojść do
któregoś z~nich; najłatwiej zobaczyć to rysując je na
szachownicy i~korzystając z~wersji {\em Wythoffa} opisanej
w~\in{punkcie}[3].
Własności te powodują, że każdy z~opisanych układów prowadzi
do wygranej gracza, którego ruch akurat przypada, a~każdy
inny układ do jego przegranej.
\stopanswer
\stopitem
\stopexercises
\stopsubject
\stopchapter
\startchapter[title={Hex\time{15--20}}]
\startsubject[title={Zasady gry}]
Gra toczy się na planszy w~kształcie rombu złożonej z~pól
w~kształcie sześciokątów foremnych; boki rombu są oznaczone
kolorem białym bądź czarnym tak, że przeciwległe boki mają ten sam
kolor. Gracze na przemian zagrywają swoje piony (gracz~I białe,
gracz~II czarne) na tych polach; raz położony na planszy pion
pozostaje w~tym samym miejscu do końca gry. Wygrywa ten z~graczy,
który połączy boki rombu w~\quotation{swoim} kolorze łańcuchem
swoich pionów (tj. ciągiem pionów leżących na polach stykających
się bokami).
\def\hexboard#1#2{%
\coordinate (w) at (1,0);
\coordinate (e) at ($(2,0)+#1*(3,0)$);
\coordinate (n) at ($(0,1.155)+(1.5,-0.866)+#1*(1.5,0.866)$);
\coordinate (s) at ($(0,-1.155)+(1.5,0.866)+#1*(1.5,-0.866)$);
\coordinate (c) at ($(1.5,0)+#1*(1.5,0)$);
\filldraw[fill=black!40] (w) -- (c) -- (n) -- cycle;
\filldraw[fill=black!40] (s) -- (c) -- (e) -- cycle;
\filldraw[fill=white] (w) -- (c) -- (s) -- cycle;
\filldraw[fill=white] (n) -- (c) -- (e) -- cycle;
\foreach \ROW in {1,...,#1}
\foreach \COL in {1,...,#1}
{
\filldraw[fill=white,
shift={($\ROW*(30:1.732)+\COL*(-30:1.732)$)}]
(0:1) -- (60:1) -- (120:1) -- (180:1) -- (240:1)
-- (300:1) -- cycle;
}
\foreach \ROW in {1,...,#1}
\node at ($\ROW*(30:1.732)+(-30:1.732)+(150:1.732)$)
{\switchtobodyfont[#2]\Characters{\ROW}};
\foreach \COL in {1,...,#1}
\node at ($\COL*(-30:1.732)+(30:1.732)+(-150:1.732)$)
{\switchtobodyfont[#2]\COL};
}
\placefigure[none,middle]{}{%
\starttikzpicture[scale=0.5]
\hexboard{5}{6pt}
\stoptikzpicture}
\stopsubject
\startsubject[title={Zadania}]
\startexercises
\startitem
Rozegrajcie kilka partii na planszach różnych wymiarów
(\math{2\times 2}, \math{3\times 3}, \math{4\times 4},
\math{5\times 5}). Który gracz ma strategię wygrywającą na
małych planszach?
\stopitem
\startitem
Jakimi wynikami może skończyć się {\em Hex}?
\startanswer
Wygraną któregoś z~graczy\ppauza remis jest niemożliwy.
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Udowodnijcie, że pierwszy gracz ma strategię wygrywającą na
planszy dowolnego rozmiaru.
\startanswer
Można zastosować rozumowanie zwane {\em kradzieżą
strategii}. Gdyby to {\em drugi gracz} miał strategię
wygrywającą (czyli miał {\em optymalną} odpowiedź na każdy
ruch pierwszego, prowadzący do wygranej), pierwszy gracz
mógłby zrobić pierwszy ruch dowolnie, a~potem
\quotation{zapomnieć} o~nim i~traktować odpowiedź drugiego
jako \quotation{pierwszy} ruch i~stosować wygrywającą
strategię (jako \quotation{drugi} gracz). Gdyby strategia
ta wymagała postawienia pionu tam, gdzie gracz ten już
postawił swój pion (np. w~pierwszym ruchu), można postawić
pion gdziekolwiek. Ponieważ stojący gdzieś pion pierwszego
gracza w~niczym nie może {\em pogorszyć} jego sytuacji,
opisane postępowanie prowadzi do wygranej pierwszego gracza,
wbrew założeniu, że to drugi ma strategię wygrywającą.
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Który gracz ma strategię wygrywającą na planszy \math{3\times
3}, jeśli białe nie mogą w~pierwszym ruchu zagrać na środku
planszy?
\startteacher
Zadanie otwarte, do dyskusji/eksperymentów.
\stopteacher
\stopitem
\stopexercises
\stopsubject
\stopchapter
\startchapter[title={Zakreśl do piętnastu\time{15--20}}]
\startsubject[title={Zasady gry}]
Wypisujemy na kartce liczby od~\math{1} do~\math{9}. Gracze na
przemian zakreślają liczbę (każdy swoim kolorem). Gracz, który
jako pierwszy wśród \quotation{swoich} liczb będzie miał trójkę
liczb, których suma wynosi~\math{15}, wygrywa.
\stopsubject
\startsubject[title={Zadania}]
\startexercises
\startitem
Jakimi wynikami może zakończyć się gra?
\startanswer
Wygraną jednego z~graczy lub remisem.
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Rozegrajcie kilka\ppauza kilkanaście gier. Czy pierwszy gracz
może zawsze wygrać? A~drugi?
\startanswer
Nie, gdy obaj gracze grają optymalnie, gra kończy się
remisem. (Optymalną strategię zobaczymy za chwilę.)
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Wypiszcie wszystkie trójki liczb ze zbioru
\math{\{1,2,\dots,9\}}, które sumują się do~\math{15}. Jak
wypisać je \quotation{po kolei}, czyli tak, by żadnej nie
pominąć i~żadnej nie wypisać więcej niż jeden raz? Ile ich
jest? Które liczby ile razy występują w~tych trójkach?
\startanswer
\math{(1,5,9)}, \math{(1,6,8)}, \math{(2,4,9)},
\math{(2,5,8)}, \math{(2,6,7)}, \math{(3,4,8)},
\math{(3,5,7)}, \math{(4,5,6)}. Każda trójka wypisana jest
rosnąco i~wypisane są w~porządku leksykograficznym. Trójek
jest \math{8}, a~poszczególne liczby występują w~nich:
\math{5} czterokrotnie, \math{2,4,6,8} trzykrotnie,
\math{1,3,7,9} dwukrotnie.
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Jak ułożyć liczby od \math{1} do~\math{9}, żeby było łatwiej
grać, tj. żeby trójki sumujące się do~\math{15} były
\quotation{dobrze widoczne}?
\startanswer
Ułożenie ich np. w~następującym {\em kwadracie magicznym}
\starttabulate[|c|c|c|][before={},after={}]
\NC 2 \NC 9 \NC 4 \NC\NR
\NC 7 \NC 5 \NC 3 \NC\NR
\NC 6 \NC 1 \NC 8 \NC\NR
\stoptabulate
pokazuje, że rozważana gra jest to po prostu
{\em Kółko i~krzyżyk} w~przebraniu.
\stopanswer
\stopitem
\stopexercises
\stopsubject
\stopchapter
\startchapter[title={Kółko i~krzyżyk\time{15--20}}]
\startsubject[title={Zasady gry}]
Znane każdemu (?).
\stopsubject
\startsubject[title={Zadania}]
\startexercises
\startitem
Jakie są możliwe wyniki w~grze w~{\em Kółko i~krzyżyk}?
\startanswer
Wygrana jednego z~graczy lub remis.
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Narysujcie dwa początkowe poziomy drzewa gry. Narysujcie
jedną lub dwie gałęzie aż do zakończenia gry.
\startanswer
(odręcznie)
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Oszacujcie liczbę możliwych rozgrywek w~{\em Kółko i~krzyżyk}.
\startanswer
\startitemize[a,packed][stopper=)]
\startitem
Prostym ograniczeniem górnym jest \math{9!=362\,880}.
\stopitem
\startitem
Jeśli wziąć pod uwagę symetrie w~początkowych dwóch
ruchach (w~późniejszych ruchach staje się to bardziej
skomplikowane), można postępować następująco. Pierwszy
ruch można wykonać na \math{3} sposoby (środek, róg,
bok). Jeśli pierwszy ruch był w~środku, drugi ruch może
zostać wykonany na \math{2} sposoby; jeśli w~rogu lub na
boku, na \math{5} sposobów. Zatem pierwsze dwa ruchy
można wykonać na \math{1\cdot 2+2\cdot 5=12} sposobów,
a~pozostałe siedem na nie więcej niż \math{7!=5040}
sposobów; zatem wszystkich gier może być najwyżej
\math{12\cdot 7!=60\,480}.
\stopitem
\startitem
Jeśli wziąć pod uwagę symetrie do trzeciego ruchu,
analogiczne rozumowanie pokazuje, że liczba możliwych
rozgrywek nie przekracza
\startformula
(2\cdot4+2\cdot4+3\cdot7)\cdot 6!=30\,960.
\stopformula
\stopitem
\startitem
Powyższa analiza nie bierze pod uwagę ani możliwych
symetrii w~dalszych ruchach, ani tego, że niektóre gry
kończą się przed zapełnieniem planszy. W~2002 roku
obliczono, że dokładna liczba rozgrywek w~{\em kółko
i~krzyżyk} wynosi \math{26\,830}.
\stopitem
\stopitemize
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Rozegrajcie kilka gier. Co powinien zrobić pierwszy gracz?
Jaki ruch pierwszego gracza {\em gwarantuje} mu wygraną,
niezależnie od tego, jak gra drugi gracz? A~jaki {\em
gwarantuje} przegraną, jeśli drugi gracz gra optymalnie?
\startanswer
Obojętnie, co zrobi pierwszy gracz w~pierwszym ruchu, jeśli
w~dalszym ciągu będzie grał optymalnie, nie przegra; jednak
żaden ruch nie gwarantuje mu wygranej. (Nie będziemy tego
rozpisywać/dowodzić.)
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Jak wygląda macierz gry w~{\em Kółko i~krzyżyk}?
\startanswer
\quotation{Strategiami} każdego z~graczy będą funkcje, które
każdej {\em sytuacji} na planszy przyporządkowują {\em
ruch}. Oczywiście, różne układy strategii I i~II gracza
będą prowadzić do różnych wyników gry.
\stopanswer
\stopitem
% \startitem
% Opiszcie własności gry w~kółko i~krzyżyk.
% \startanswer
% Jest dwóch graczy; gracze wykonują ruchy kolejno, a~nie
% jednocześnie (chyba, że przez \quotation{ruch} będziemy
% rozumieć \quotation{wybór strategii} (w~sensie poprzedniego
% zadania)); gracze dysponują pełną informacją; gra kończy się
% po skończenie wielu ruchach (maksymalnie dziewięciu);
% \stopanswer
% \stopitem
\startitem
Opiszcie optymalną strategię w~{\em Kółko i~krzyżyk} dla I i~II
gracza.
\startanswer
Oto przykładowy zapis strategii optymalnej (co ciekawe,
działający dla każdego gracza). W~każdej sytuacji należy
sprawdzać, czy kolejne punkty mają zastosowanie, i~jeśli
tak, wykonać opisaną w~nich akcję.
\startitemize[a,packed][stopper=)]
\startitem[a]
Jeśli masz dwa symbole w~rzędzie, a~trzecie miejsce jest
puste, zakreśl to puste miejsce; {\em wygrywasz}.
\stopitem
\startitem
Jeśli przeciwnik ma dwa symbole w~rzędzie, a~trzecie
miejsce jest puste, zakreśl to puste miejsce.
\stopitem
\startitem
Jeśli możesz, stwórz {\em zagrożenie}, czyli sytuację,
w~której masz {\em dwa} rzędy z~dwoma swoimi symbolami
i~trzecim pustym miejscem.
\stopitem
\startitem
Jeśli w~następnym ruchu przeciwnik będzie w~stanie
utworzyć {\em zagrożenie}, utwórz sytuację opisaną
w~\in{punkcie}{)}[a].
\stopitem
\startitem
Jeśli środek jest wolny, zagraj w~nim.
\stopitem
\startitem
Jeśli przeciwnik zagrał w~narożniku i~przeciwległy
narożnik jest wolny, zagraj w~nim.
\stopitem
\startitem
Jeśli którykolwiek narożnik jest wolny, zagraj w~nim.
\stopitem
\startitem
Zagraj gdziekolwiek.
\stopitem
\stopitemize
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Wymyślcie kilka wariantów {\em Kółka i~krzyżyka}.
\startanswer
Do znanych wariantów należą np. {\em Kółko i~krzyżyk} na
planszy \math{4\times 4} (do wygranej trzeba mieć \math{4}
swoje symbole w~wierszu, kolumnie lub na przekątnej), {\em
gomoku} (do wygranej trzeba mieć \math{5} symboli, plansza
ma rozmiar \math{19\times19}), {\em Kółko i~krzyżyk}
trójwymiarowe (i~w~wyższych wymiarach), {\em Anty-kółko
i~krzyżyk}, gdzie gracz, który ma trzy symbole w~rzędzie,
przegrywa, {\em kwantowe Kółko i~krzyżyk} i~wiele innych.
\stopanswer
\stopitem
\stopexercises
\stopsubject
\stopchapter
\startchapter[title={Kiełki\time{10--15}}]
\startsubject[title={Zasady gry}]
Na kartce rysujemy cztery kropki (lub inną ich liczbę). Gracze
wykonują ruchy na przemian. Ruch polega na połączeniu dwóch
wybranych kropek linią i~narysowaniu na tej linii (ale nie na
żadnym z~końców) kolejnej kropki, przy czym należy przestrzegać
następujących dwóch zasad:
\startitemize[r,text][stopper=]
\startitem
linie nie mogą się przecinać,
\stopitem
\startitem[kielki2]
z~jednej kropki mogą wychodzić co najwyżej trzy linie.
\stopitem
\stopitemize
Gracz, który nie może wykonać ruchu zgodnie z~tymi zasadami,
przegrywa.
\stopsubject
\startsubject[title={Zadania}]
\startexercises
\startitem
Rozegrajcie kilka partii. Czy potraficie grać tak, żeby gra
się {\em nie} skończyła?
\stopitem
\startitem
Udowodnijcie, że gra w~{\em Kiełki} zawsze kończy się po skończenie
wielu ruchach.
\startanswer
Na początku jest \math{4\times 3=12} możliwych końców linii,
bo z~każdej z~\math{4} kropek mogą wychodzić
maksymalnie~\math{3} linie. W~każdym ruchu, rysując linię,
zmniejszamy tę liczbę o~\math{2} (\quotation{wykorzystujemy}
dwa możliwe końce) i~zwiększamy o~\math{1} (bo dorysowana
kropka może być końcem tylko dla jednej linii, zgodnie
z~\in{zasadą}[kielki2]).
\stopanswer
\stopitem
\stopexercises
\stopsubject
\stopchapter
\startchapter[title={Gry w~kości\time{10--20}}]
\startexercises
\startitem
Rozważmy następującą grę. Rzucamy kością (symetryczną,
sześcienną), po czym, jeśli chcemy, rzucamy ponownie (ale
najwyżej raz).
\startitemize[a,packed][stopper=)]
\startitem
Jak będzie wyglądała macierz tej gry?
\startanswer
W~wierszach będą znajdować się {\em strategie gracza},
czyli \quotation{przepisy} określające sposób postępowania
(tj. czy przerzucamy kość czy nie) dla każdego wyniku
pierwszego rzutu. W~kolumnach będą znajdować się {\em
strategie przyrody}, czyli wyniki dwóch kolejnych rzutów
kością.
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Ile jest możliwych strategii gracza, a~ile przyrody w~tej
grze?
\startanswer
Gracz ma \math{2^6=64} strategie: dla każdego z~sześciu
możliwych wyników niezależnie określamy, czy przerzucamy
kość, czy nie (zasada mnożenia lub wariacje
z~powtórzeniami\ppauza sześć razy wybieramy niezależnie
jedną z~dwóch możliwości). Przyroda ma \math{6^2=36}
strategii.
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Rozważmy następującą strategię: \quotation{jeśli wypadnie
\math{k} lub mniej oczek, przerzucamy kość, w~przeciwnym
wypadku pozostajemy przy wyniki pierwszego rzutu}. Jakie
powinno być \math{k}, aby wartość oczekiwana wyniku była
największa?
\startanswer
Wartość oczekiwana wynosi
\startformula
k(\tfrac{1}{6^2}1+\cdots+\tfrac{1}{6^2}6)
+\bigl(\tfrac{1}{6}(k+1)+\cdots+\tfrac{1}{6}6\bigr)
=\tfrac{1}{12}(-k^2+6k+42),
\stopformula
a~więc osiąga maksimum dla \math{k_{\rm max}=3}.
\stopanswer
\stopitem
\stopitemize
\stopitem
\startitem
Rozważmy podobną grę, w~której można przerzucić kość co najwyżej
dwa razy.
\startitemize[a,packed][stopper=)]
\startitem
Ile jest możliwych strategii gracza w~tej grze?
\startanswer
Po pierwszym rzucie mamy tym razem nie dwie możliwości
(pozostanie bądź przerzucenie), ale \math{1+2^6}
możliwości: pozostanie (jeden sposób) bądź kontynuacja
(\math{2^6} sposobów na mocy poprzedniego zadania).
Ponieważ dalsze postępowanie określamy niezależnie dla
każdego z~sześciu wyników, analogicznie jak poprzednio
mamy
\startformula
(1+2^6)^6=75\,418\,890\,625
\stopformula
możliwych strategii.
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Która strategia jest korzystniejsza (daje większą wartość
oczekiwaną): \quotation{rzucamy tak długo, aż wypadnie
więcej niż \math{3} oczka, ale nie więcej niż trzy razy},
czy \quotation{jeśli w~pierwszym rzucie wypadła szóstka,
pozostajemy przy tym wyniku, w~przeciwnym przypadku
rzucamy drugi raz; jeśli wówczas wypadnie więcej niż trzy
oczka, pozostajemy przy tym wyniku, a~jeśli nie, rzucamy
po raz ostatni}?
\startanswer
Pierwsza strategia daje wartość oczekiwaną
\math{4\frac{5}{8}=4{,}625}, zaś druga
\math{4\frac{13}{24}\approx 4{,}542}.
\stopanswer
\stopitem
\stopitemize
\stopitem
\startitem
Rozważmy następującą grę: rzucamy parą kości, po czym możemy raz
przerzucić jedną, drugą lub obie kości. Wynikiem jest suma
oczek na obu kościach, chyba, że wypadły dwie szóstki, wówczas
wynik wynosi zero. Jaką zaproponowalibyście strategię w~tej
grze?
\startanswer
Pytanie otwarte, nie jesteśmy w~stanie łatwo wyliczyć
strategii maksymalizującej wartość oczekiwaną wyniku w~tej
grze. Warto przedyskutować kilka problemów związanych z~tą
grą, np. liczbę możliwych strategii (można przyjąć, że kości
są rozróżnialne lub nie!), sposób postępowania, gdy wypadnie
jedna szóstka (np. gdy przerzucimy tylko drugą kość, wartość
oczekiwana wyniesie
\startformula
\tfrac{1}{6}(6+1)+\cdots+\tfrac{1}{6}(6+5)+\tfrac{1}{6}\cdot0
=7\tfrac{1}{2}\text{,}
\stopformula
więc jeśli na drugiej kości wypadło więcej niż~\math{1}, nie
warto jej przerzucać), wariant, w~którym za dwie szóstki
otrzymujemy \math{-6} punktów.
\stopanswer
\stopitem
\stopexercises
\stopchapter
\startchapter[title={Projektowanie własnej gry\time{reszta
czasu, \hskip 0pt plus 4em\penalty20\hskip 0pt plus -4em\relax 20--60}}]
\startsubject[title={Początkowe zasady gry}]
Gracze są właścicielami fabryk znajdujących się nad rzeką.
Produkcja jest związana z~powstawaniem odpadów, które właściciele
wylewają do rzeki. Gdy poziom zanieczyszczeń okaże się zbyt duży,
następuje kontrola i~wszystkie fabryki zostają zamknięte. Wygrywa
ten, który zdołał do tego momentu wyprodukować najwięcej (zarobić
najwięcej pieniędzy).
We wspólnej puli kładziemy kamienie (patyczki, sztony...)
w~liczbie dziesięciokrotnie większej od liczby graczy. Gracze
kolejno rzucają kostką. Po rzucie każdy gracz zabiera tyle
kamieni, ile wyrzucił oczek. Gdy kamienie się skończą, wygrywa
gracz, który zebrał ich najwięcej.
\stopsubject
\startsubject[title={Zadania}]
\startexercises[2*broad]
\startitem
Wymyślcie tytuł dla tej gry.
\stopitem
\startitem
Powyższe zasady zawierają pewną niejasność. Znajdźcie ją.
\startanswer
Nie wiadomo, co zrobić, gdy gracz kończący grę ma wziąć {\em
więcej} kamieni, niż pozostało w~puli: czy powinien wziąć
tyle, ile ich tam jest, czy wpierw uzupełnić pulę
odpowiednią liczbą kamieni i~wziąć tyle, ile wskazuje
kostka.
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Czy ta gra zawsze się skończy? Jaka jest minimalna, średnia
i~maksymalna liczba ruchów?
\startanswer
Tak\ppauza jest skończenie wiele kamieni, w~każdym ruchu
zabiera się co najmniej jeden. Najmniej ruchów będzie, gdy
wszyscy będą wyrzucali szóstki: \math{\lceiling
10n/6\rceiling}, gdzie \math{n} to liczba graczy.
Najwięcej ruchów (\math{10n}) będzie, gdy wszyscy będą
wyrzucali jedynki. Średnio będzie \math{\lceiling
10n/3{,}5\rceiling} ruchów.
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Powyżej opisana gra jest bardzo nudna. Dlaczego?
\startanswer
Ponieważ gracze nie podejmują żadnych decyzji, wszystko
rozstrzygają rzuty kośćmi.
\stopanswer
\stopitem
\startitem
Jak można ulepszyć tę grę?
\startanswer
Oto (otwarta) lista pomysłów (niektóre z~nich są {\em złe},
ale niech uczniowie sami do tego dojdą!). Warto zwrócić
uwagę, że {\em dobry} pomysł oznacza nie tylko, że gra staje
się interesująca (trzeba podejmować niełatwe decyzje,
zdarzają się nieoczekiwane zwroty akcji itp.), ale też ma
uzsadanienie w~fabule gry. Każdy pomysł wymaga też
sprawdzenia\ppauza przetestowania na kilku (w~rzeczywistości
kilkudziesięciu czy kilkuset) rozgrywkach i~ewentualnej
modyfikacji (a~czasem porzucenia).
\startitemize[packed]
\startitem
Zmiana liczby kamieni.
\stopitem
\startitem
Zmiana liczby kości (np. każdy gracz rzuca trzema kośćmi).
\stopitem
\startitem
Możliwość kilkukrotnego (np. trzykrotnego) powtórzenia
rzutu wybranymi kośćmi.
\stopitem
\startitem
Zabieranie kamieni w~innej liczbie niż wynik na kostce
(lub suma wyników): można rozważyć iloczyn, kwadrat lub
pierwiastek sumy, sumę różnic między wynikami lub
jeszcze inną funkcję. (Niektóre funkcje nadają się do
tego kiepsko, np. kwadrat sumy prowadzi do dość dużych
liczb, co jest niewygodne.)
\stopitem
\startitem
Wprowadzenie układów {\em bonusowych}, np. dwa lub trzy
identyczne wyniki lub trzy kolejne liczby naturalne na
kostkach mogą dać efekt specjalny (np. odebranie
zebranych kamieni \ppauza w~ustalonej liczbie,
np. zależnej od liczby oczek\ppauza innym graczom,
zmuszenie innych graczy do oddania kamieni do puli
i~in.)
\stopitem
\startitem
Wprowadzenie układów {\em malusowych}, np. każda szóstka
może oznaczać konieczność oddania do puli lub innym
graczom pewnej liczby kamieni itp.
\stopitem
\startitem
Gracze mogą wykonywać ruchy równocześnie zamiast
kolejno. (Trzeba ustalić, jak wtedy postępować, jeśli
w~trakcie ruchu skończą się kamienie w~puli, oraz jakie
dokładnie informacje są jawne dla pozostałych graczy
w~czasie ruchu.)
\stopitem
\startitem
Można zmienić warunki zwycięstwa, np. wygrywać może
gracz, który zebrał najwięcej kamieni, ale z~wyłączeniem
tego, który spowodował wyczerpanie puli.
\stopitem
\startitem
Przy jednym rodzaju kamieni zarobione pieniądze
i~usunięte zanieczyszczenia wyrażają się tą samą
liczbą. Można wprowadzić dwa rodzaje kamieni
i~zróżnicować te liczby, ustalając, że np. \math{n}
zanieczyszczeń jest związane z~zarobieniem \math{n^2},
\math{\sqrt{n}} lub inną ilością pieniędzy.
\stopitem
\stopitemize
\stopanswer
\stopitem
\stopexercises
\stopsubject
\stopchapter
\startnotmode[nauczyciel]
\page
\setuppagenumber[state=stop]
\midaligned{%
\starttikzpicture[scale=1.8,rotate=-30]
\hexboard{2}{10pt}
\stoptikzpicture
}
\par\blank[6*big]
\midaligned{%
\starttikzpicture[scale=1.8,rotate=-30]
\hexboard{3}{10pt}
\stoptikzpicture
}
\page
\midaligned{%
\starttikzpicture[scale=1.8,rotate=60]
\hexboard{4}{10pt}
\stoptikzpicture
}
\page
\centerbox{%
\starttikzpicture[scale=1.8,rotate=60]
\hexboard{5}{10pt}
\stoptikzpicture
}
\stopnotmode
\stoptext
[-- Attachment #3: Type: text/plain, Size: 485 bytes --]
___________________________________________________________________________________
If your question is of interest to others as well, please add an entry to the Wiki!
maillist : ntg-context@ntg.nl / http://www.ntg.nl/mailman/listinfo/ntg-context
webpage : http://www.pragma-ade.nl / http://tex.aanhet.net
archive : http://foundry.supelec.fr/projects/contextrev/
wiki : http://contextgarden.net
___________________________________________________________________________________
^ permalink raw reply [flat|nested] only message in thread
only message in thread, other threads:[~2012-07-28 23:23 UTC | newest]
Thread overview: (only message) (download: mbox.gz / follow: Atom feed)
-- links below jump to the message on this page --
2012-07-28 23:23 A strange problem, probably with \startitemize[columns] Marcin Borkowski
This is a public inbox, see mirroring instructions
for how to clone and mirror all data and code used for this inbox;
as well as URLs for NNTP newsgroup(s).