From mboxrd@z Thu Jan 1 00:00:00 1970 X-Msuck: nntp://news.gmane.io/gmane.comp.tex.context/77626 Path: news.gmane.org!not-for-mail From: Marcin Borkowski Newsgroups: gmane.comp.tex.context Subject: A strange problem, probably with \startitemize[columns] Date: Sun, 29 Jul 2012 01:23:24 +0200 Organization: WMI UAM Message-ID: <20120729012324.29dda9e6@aga-netbook> Reply-To: mailing list for ConTeXt users NNTP-Posting-Host: plane.gmane.org Mime-Version: 1.0 Content-Type: multipart/mixed; boundary="MP_/V4joPUf6mbW+jFwiNx+XTe8" X-Trace: dough.gmane.org 1343517839 5014 80.91.229.3 (28 Jul 2012 23:23:59 GMT) X-Complaints-To: usenet@dough.gmane.org NNTP-Posting-Date: Sat, 28 Jul 2012 23:23:59 +0000 (UTC) To: ConTeXt mailing list Original-X-From: ntg-context-bounces@ntg.nl Sun Jul 29 01:23:58 2012 Return-path: Envelope-to: gctc-ntg-context-518@m.gmane.org Original-Received: from balder.ntg.nl ([195.12.62.10]) by plane.gmane.org with esmtp (Exim 4.69) (envelope-from ) id 1SvGMV-0005RI-DJ for gctc-ntg-context-518@m.gmane.org; Sun, 29 Jul 2012 01:23:55 +0200 Original-Received: from localhost (localhost [127.0.0.1]) by balder.ntg.nl (Postfix) with ESMTP id 17C581022B; Sun, 29 Jul 2012 01:23:54 +0200 (CEST) X-Virus-Scanned: Debian amavisd-new at balder.ntg.nl Original-Received: from balder.ntg.nl ([127.0.0.1]) by localhost (balder.ntg.nl [127.0.0.1]) (amavisd-new, port 10024) with LMTP id GhZ+3XB4Z70w; Sun, 29 Jul 2012 01:23:41 +0200 (CEST) Original-Received: from balder.ntg.nl (localhost [IPv6:::1]) by balder.ntg.nl (Postfix) with ESMTP id 6146C101DF; Sun, 29 Jul 2012 01:23:41 +0200 (CEST) Original-Received: from localhost (localhost [127.0.0.1]) by balder.ntg.nl (Postfix) with ESMTP id 70294101DF for ; Sun, 29 Jul 2012 01:23:39 +0200 (CEST) X-Virus-Scanned: Debian amavisd-new at balder.ntg.nl Original-Received: from balder.ntg.nl ([127.0.0.1]) by localhost (balder.ntg.nl [127.0.0.1]) (amavisd-new, port 10024) with LMTP id Be5SSeGTQckg for ; Sun, 29 Jul 2012 01:23:34 +0200 (CEST) Original-Received: from filter4-ams.mf.surf.net (filter4-ams.mf.surf.net [192.87.102.72]) by balder.ntg.nl (Postfix) with ESMTP id BD242101DD for ; Sun, 29 Jul 2012 01:23:33 +0200 (CEST) Original-Received: from msg.wmi.amu.edu.pl (msg.wmi.amu.edu.pl [IPv6:2001:808:114:2::50]) by filter4-ams.mf.surf.net (8.14.3/8.14.3/Debian-9.4) with ESMTP id q6SNNeNX018288 for ; Sun, 29 Jul 2012 01:23:41 +0200 Original-Received: from localhost (localhost [127.0.0.1]) by msg.wmi.amu.edu.pl (Postfix) with ESMTP id 7BF1945777 for ; Sun, 29 Jul 2012 01:23:30 +0200 (CEST) Original-Received: from msg.wmi.amu.edu.pl ([127.0.0.1]) by localhost (msg.wmi.amu.edu.pl [127.0.0.1]) (amavisd-new, port 10024) with ESMTP id aMuJ7rl65IK8 for ; Sun, 29 Jul 2012 01:23:30 +0200 (CEST) Original-Received: from aga-netbook (unknown [213.156.123.123]) by msg.wmi.amu.edu.pl (Postfix) with ESMTPSA id B70DB45769 for ; Sun, 29 Jul 2012 01:23:28 +0200 (CEST) X-Mailer: Claws Mail 3.7.9 (GTK+ 2.24.6; i686-pc-linux-gnu) X-Bayes-Prob: 0.146 (Score 0, tokens from: @@RPTN) X-CanIt-Geo: ip=2001:808:114:2::50; country=PL X-CanItPRO-Stream: uu:ntg-context@ntg.nl (inherits from uu:default, base:default) X-Canit-Stats-ID: 01HDXnF09 - 3c220cb4cd3e - 20120729 X-Scanned-By: CanIt (www . roaringpenguin . com) X-BeenThere: ntg-context@ntg.nl X-Mailman-Version: 2.1.14 Precedence: list List-Id: mailing list for ConTeXt users List-Unsubscribe: , List-Archive: List-Post: List-Help: List-Subscribe: , Errors-To: ntg-context-bounces@ntg.nl Original-Sender: ntg-context-bounces@ntg.nl Xref: news.gmane.org gmane.comp.tex.context:77626 Archived-At: --MP_/V4joPUf6mbW+jFwiNx+XTe8 Content-Type: text/plain; charset=US-ASCII Content-Transfer-Encoding: 7bit Content-Disposition: inline Hello, I am a bit afraid to gain a nickname "the itemize-column guy", but it seems that again there's a problem with this feature... Unfortunately, I did not manage to isolate the problem, so maybe it lies somewhere completely else. Anyway, sorry for spamming the list again with a complete file of one of my documents (it's all Polish to most of you anyway;)), but it compiles succesfully, but very strangely (it looks like \vsize > \paperheight) on newest ConTeXt (it used to look just fine about three weeks ago). Any clues? -- Marcin Borkowski http://mbork.pl --MP_/V4joPUf6mbW+jFwiNx+XTe8 Content-Type: text/x-tex Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Content-Disposition: attachment; filename=gry-cwiczenia.tex % =C4=86wiczenia na Newtona o grach \mainlanguage[pl] \usetypescript[pagella] \setupbodyfont[pagella] \usemodule[tikz] \usetikzlibrary[calc] \let\origstarttikzpicture=3D\starttikzpicture \let\origstoptikzpicture=3D\stoptikzpicture \def\starttikzpicture{\hbox\bgroup\origstarttikzpicture} \def\stoptikzpicture {\origstoptikzpicture\egroup} \def\todo#1{{\em \kap{do dopisania}: #1}} %\setupinteraction[state=3Dstart] \enablemode[nauczyciel] %\disablemode[nauczyciel] \def\startteacher{\grabbufferdata[teacher][startteacher][stopteacher]} \doifmodeelse{nauczyciel}{\def\stopteacher{\par{\switchtobodyfont[small]\ge= tbuffer[teacher]\par}}}{\def\stopteacher{}} \def\startanswer{\par\dostartbuffer[answer][startanswer][stopanswer]} \doifmodeelse{nauczyciel}{\def\stopanswer{{\switchtobodyfont[small]\blank[s= mall]{\sl Odpowied=C5=BA.} \getbuffer[answer]\par}}}{\def\stopanswer{}} \def\putdotafter#1{#1.} \setuphead[subject][style=3Dbold,after=3D{},alternative=3Dtext,distance=3D0= .25em,textcommand=3D\putdotafter] %\setuphead[section][numbercommand=3D\putdotafter] \setuphead[chapter][sectionstopper=3D.,page=3Dno] \def\teacheronly#1{\doifmode{nauczyciel}{#1}} \def\time#1{\doifmode{nauczyciel}{\removeunwantedspaces \hskip 0pt plus 6em\penalty20\ \hskip 0pt plus -6em (#1~minut)}} \defineitemgroup[exercises] \setupitemgroup[exercises][1][n,broad,intro][left=3D{\headnumber[chapter]},= before=3D{},inbetween=3D{\blank[medium]}] \def\ppauza{\unskip\kern.2em--\hskip.2em\ignorespaces} \starttext \noheaderandfooterlines \startalignment[middle] \tfd Gry (materia=C5=82y na =C4=87wiczenia w~czwartek) \par\blank[big] \stopalignment \startnotmode[nauczyciel] \placefigure[bottom,none]{}{% \hbox to \textwidth{ \externalfigure[logo-1-t][height=3D1.5cm]\hfil \externalfigure[logo-2-t][height=3D1.5cm]\hfil \externalfigure[logo-3-t][height=3D1.5cm] }} \stopnotmode \completecontent[alternative=3Da,pagestyle=3Dslanted,distance=3D2pt] \page \startchapter[title=3D{Gry macierzowe\time{15--20}}] \startexercises \startitem Jakie s=C4=85 strategie optymalne dla obu graczy w~grze o~poni=C5=BCszej macierzy? \startformula \startmathmatrix[n=3D2,left=3D{\left(\,},right=3D{\,\right)},align=3D= right] \NC 1 \NC 2 \NR \NC 3 \NC 4 \NR \stopmathmatrix \stopformula \startteacher Macierz interpretujemy nast=C4=99puj=C4=85co: I~gracz wybiera wiersz, II~gracz wybiera kolumn=C4=99 (obaj robi=C4=85 to r=C3=B3wnocze=C5=9B= nie), po czym II~gracz wyp=C5=82aca pierwszemu kwot=C4=99 z~przeci=C4=99cia wybrane= go wiersza i~kolumny (gra o~sumie zero: wygrana jednego gracza jest r=C3=B3wna przegranej drugiego). \stopteacher \startanswer Pierwszy gracz, wybieraj=C4=85c drugi wiersz, w~ka=C5=BCdym wypadku wygrywa wi=C4=99cej, ni=C5=BC gdyby wybra=C5=82 pierwszy; powinien wi= =C4=99c wybra=C4=87 drugi wiersz (dominuj=C4=85cy). Drugi gracz, wybieraj=C4=85c pierwsz= =C4=85 kolumn=C4=99, w~ka=C5=BCdym przypadku traci mniej, ni=C5=BC gdyby wyb= ra=C5=82 drug=C4=85; powinien wi=C4=99c wybra=C4=87 pierwsz=C4=85 (dominuj=C4=85c=C4=85) k= olumn=C4=99. \stopanswer \stopitem \startitem Rozwa=C5=BCmy gr=C4=99 z~nast=C4=99puj=C4=85c=C4=85 macierz=C4=85: \startformula \startmathmatrix[n=3D3,left=3D{\left(\,},right=3D{\,\right)},align=3D= right] \NC 4 \NC 1 \NC -1 \NR \NC 0 \NC 1 \NC 6 \NR \NC 3 \NC 2 \NC 5 \NR \stopmathmatrix \stopformula Jaka jest optymalna strategia dla ka=C5=BCdego z~graczy? \startanswer =C5=BBaden wiersz ani kolumna nie s=C4=85 dominuj=C4=85ce, ale poniew= a=C5=BC \math{2} w~trzecim rz=C4=99dzie i~drugiej kolumnie jest {\em najmniejsz=C4=85} warto=C5=9Bci=C4=85 w~swoim rz=C4=99dzie i~{\em n= ajwi=C4=99ksz=C4=85} warto=C5=9Bci=C4=85 w~swojej kolumnie, optymaln=C4=85 strategi=C4=85 = dla I~gracza jest trzecia (wygra co najmniej~\math{2} niezale=C5=BCnie od strategii II~gracza), a~dla II~gracza druga (przegra co najwy=C5=BCej~\math{2} niezale=C5=BCnie od strategii I~gracza). \stopanswer \stopitem \startitem Gra {\em parzyste czy nieparzyste} polega na tym, =C5=BCe dw=C3=B3ch gr= aczy wybiera (r=C3=B3wnocze=C5=9Bnie) liczb=C4=99 \math{1} lub~\math{2}. Je= =C5=9Bli suma wybranych liczb jest nieparzysta, wygrywa gracz~I; je=C5=9Bli jest parzysta, wygrywa gracz~II. Gracz, kt=C3=B3ry przegra=C5=82, oddaje drugiemu kwot=C4=99 r=C3=B3wn=C4=85 sumie wybranych liczb. Narysujcie = macierz tej gry. Jaka jest optymalna strategia ka=C5=BCdego z~graczy? Czy gra jest sprawiedliwa? \startteacher To zadanie mo=C5=BCemy opu=C5=9Bci=C4=87 lub om=C3=B3wi=C4=87 pobie= =C5=BCnie bez wi=C4=99kszej szkody. \stopteacher \startanswer Macierz: \startformula \startmathmatrix[n=3D2,left=3D{\left(\,},right=3D{\,\right)},align= =3Dright] \NC -2 \NC 3 \NR \NC 3 \NC -4 \NR \stopmathmatrix \stopformula Powy=C5=BCsza macierz nie ma strategii dominuj=C4=85cych ani punkt=C3= =B3w siod=C5=82owych, trzeba wi=C4=99c zastosowa=C4=87 inn=C4=85 metod=C4= =99. Za=C5=82=C3=B3=C5=BCmy, =C5=BCe gracz~I wybiera~\math{1} z~prawdopodobie=C5=84stwem~\math{p} i~\math{2} z~prawdopodobie=C5=84stwem~\math{1-p}. Wyznaczymy~\math{p} tak, =C5= =BCeby gracz~I wygrywa=C5=82 przeci=C4=99tnie {\em tyle samo}, oboj=C4=99tni= e, co zrobi gracz~II. Je=C5=9Bli gracz~II wybierze~\math{1}, przeci=C4=99tna wygrana~I wyno= si \math{-2p+3(1-p)}. Je=C5=9Bli II wybierze~\math{2}, przeci=C4=99tna wygrana~I wynosi~\math{3p-4(1-p)}. Aby warto=C5=9Bci te by=C5=82y r= =C3=B3wne, musi by=C4=87 \math{p=3D\frac{7}{12}}. Zatem gracz~I powinien wybra=C4=87~\math{1} z~prawdopodobie=C5=84stwem \math{\frac{7}{12}}, a~\math{2} z~prawdopodobie=C5=84stwem~\math{\frac{5}{12}}. Jego przeci=C4=99tna wygrana wynosi \math{-2\frac{7}{12}+3\frac{5}{12}=3D3\frac{7}{12}-4\frac{5}{12}=3D\f= rac{1}{12}}. Prowadz=C4=85c podobn=C4=85 analiz=C4=99 dla gracza~II widzimy, =C5= =BCe ta sama strategia pozwala mu uzyska=C4=87 przeci=C4=99tn=C4=85 strat=C4=99~\math{\frac{1}{12}}. Wynika st=C4=85d, =C5=BCe znalezion= ej strategii nie da si=C4=99 ulepszy=C4=87, a~gra nie jest sprawiedliwa (preferuje I~gracza). \stopanswer \stopitem \startitem Rozwa=C5=BCmy wariant gry {\em parzyste czy nieparzyste}, w~kt=C3=B3rym ka=C5=BCdy z~graczy wybiera jedn=C4=85 z~liczb~\math{\{0,1,2\}}. Spr= =C3=B3bujcie znale=C5=BA=C4=87 optymaln=C4=85 strategi=C4=99 dla pierwszego gracza. \startteacher To zadanie opuszczamy, chyba =C5=BCe mamy grup=C4=99 geniuszy. \stopteacher \startanswer Nie ma ani strategii dominuj=C4=85cych, ani punkt=C3=B3w siod=C5=82ow= ych. Post=C4=99pujemy jak w~poprzednim =C4=87wiczeniu; okazuje si=C4=99, = =C5=BCe I~gracz powinien wybiera=C4=87~\math{1} z~prawdopodobie=C5=84stwem~\math{\frac{1}{2}} i~pozosta=C5=82e liczby z~prawdopodobie=C5=84stwem~\math{\frac{1}{4}}. Uwaga: ta metoda {\em nie dzia=C5=82a dla ka=C5=BCdej macierzy}! \stopanswer \stopitem \stopexercises \stopchapter \startchapter[title=3D{Nim-suma liczb ca=C5=82kowitych nieujemnych\time{10-= -15}}] \startteacher Poj=C4=99cia nim-sumy {\em nie b=C4=99dzie} na wyk=C5=82adzie, trzeba je = wprowadzi=C4=87 na =C4=87wiczeniach. Jest to dzia=C5=82anie w~zbiorze liczb ca=C5=82kowi= tych nieujemnych okre=C5=9Blone nast=C4=99puj=C4=85co: aby wyliczy=C4=87 nim-s= um=C4=99 dw=C3=B3ch liczb, przeliczamy je na uk=C5=82ad dw=C3=B3jkowy, dodajemy pisemnie bez przeniesienia (czyli cyfry na ka=C5=BCdej pozycji {\em modulo}~\math{2}) i~wynik interpretujemy zn=C3=B3w jako liczb=C4=99 w~zapisie dw=C3=B3jkowy= m. Przyk=C5=82ad: \startformula 6\oplus 12=3D(110)_2\oplus(1100)_2=3D(1010)_2=3D10. \stopformula (Okazuje si=C4=99, =C5=BCe to dzia=C5=82anie jest =C5=82=C4=85czne i~prze= mienne, elementem neutralnym jest~\math{0}, ka=C5=BCdy element jest swoj=C4=85 przeciwno=C5= =9Bci=C4=85, a~ponadto nim-suma ma fundamentalne znaczenie dla analizy gry {\em Nim} i~pewnych innych gier.) \stopteacher \startexercises \startitem Przeliczcie nast=C4=99puj=C4=85ce liczby w~zapisie dw=C3=B3jkowym na sy= stem dziesi=C4=85tkowy: % \startsimplecolumns \startitemize[a,columns,two,joinedup][stopper=3D)] \startitem \math{(101)_2} \stopitem \startitem \math{(101011)_2} \stopitem \stopitemize % \stopsimplecolumns \startanswer \startitemize[a,text][stopper=3D] \startitem \math{(101)_2=3D2^0+2^2=3D1+4=3D5}; \stopitem \startitem \math{(101011)_2=3D1+2+8+32=3D43}. \stopitem \stopitemize \stopanswer \stopitem \startitem Przeliczcie nast=C4=99puj=C4=85ce liczby na system dw=C3=B3jkowy: \startitemize[a,columns,two,joinedup][stopper=3D)] \startitem \math{10} \stopitem \startitem \math{77} \stopitem \stopitemize \startanswer \startitemize[a] \startitem \math{10=3D8+2=3D(1010)_2}; \stopitem \startitem Aby przeliczy=C4=87 na system dw=C3=B3jkowy liczb=C4=99 \math{77}, = mo=C5=BCna np. dzieli=C4=87 j=C4=85 przez~\math{2} (z~reszt=C4=85) tak d=C5=82= ugo, a=C5=BC otrzymamy zero, a~reszty wypisywa=C4=87 jako kolejne (od prawej strony) cyfry dw=C3=B3jkowe: \starttabulate[|r|] \NC \math{77:2=3D38~\text{r.}~1}\NR \NC \math{38:2=3D19~\text{r.}~0}\NR \NC \math{19:2=3D9~\text{r.}~1}\NR \NC \math{9:2=3D4~\text{r.}~1}\NR \NC \math{4:2=3D2~\text{r.}~0}\NR \NC \math{2:2=3D1~\text{r.}~0}\NR \NC \math{1:2=3D0~\text{r.}~1}\NR \stoptabulate Zatem \math{77=3D(1001101)_2}. \stopitem \stopitemize \stopanswer \stopitem \startitem Znajd=C5=BAcie nast=C4=99puj=C4=85ce nim-sumy: \startitemize[a,columns,two,joinedup,broad,intro][stopper=3D)] \startitem \math{18\oplus 0} \stopitem \startitem \math{13\oplus 13} \stopitem \startitem \math{10\oplus 77} \stopitem \startitem \math{10\oplus 6\oplus 12} \stopitem \stopitemize \startanswer \startitemize[a,text][stopper=3D] \startitem \math{18\oplus 0=3D18}; \stopitem \startitem \math{13\oplus 13=3D0}; \stopitem \startitem \math{10\oplus 77=3D71}; \stopitem \startitem \math{10\oplus 6\oplus 12=3D0} (ten przyk=C5=82ad warto policzy=C4= =87 przynajmniej dwa razy, w~r=C3=B3=C5=BCnej kolejno=C5=9Bci!). \stopitem \stopitemize \stopanswer \stopitem \stopexercises \stopchapter \startchapter[title=3D{Nim\time{20--25}}] \startsubject[title=3D{Zasady gry}] Na trzech kupkach k=C5=82adziemy kamienie (lub =C5=BCetony, patyczki it= p.). Gracze wykonuj=C4=85 ruchy na przemian. Ruch polega na zabraniu dowolnej liczby kamieni (co najmniej jednego, by=C4=87 mo=C5=BCe wszyst= kich) z~dowolnej kupki. Gracz, kt=C3=B3ry we=C5=BAmie ostatni kamie=C5=84, w= ygrywa. \stopsubject \startsubject[title=3D{Zadania}] \startexercises \startitem Rozegrajcie kilka partii (mo=C5=BCna zacz=C4=85=C4=87 np. od kupek = licz=C4=85cych \math{5}, \math{7} i~\math{9} kamieni). Czy potraficie odkry=C4=87, kt=C3=B3ry gracz ma strategi=C4=99 wygrywaj=C4=85c=C4= =85 i~jak powinien gra=C4=87, =C5=BCeby wygra=C4=87? \stopitem \startitem Narysujcie graf {\em Nima} dla rozgrywki, kt=C3=B3ra zaczyna si=C4= =99 od kupek o~liczebno=C5=9Bciach \math{1}, \math{1} i~\math{2}. (Wygodnie b=C4=99dzie opisa=C4=87 wierzcho=C5=82ki grafu tr=C3=B3jk= ami liczb, np. \math{(1,1,2)}.) Znajd=C5=BAcie N-pozycje i~P-pozycje. Przy ka=C5=BCdej pozycji zapiszcie nim-sum=C4=99 liczebno=C5=9Bci kupek.= Czy zauwa=C5=BCyli=C5=9Bcie pewn=C4=85 prawid=C5=82owo=C5=9B=C4=87? \startteacher {\em N-pozycja} to pozycja, w~kt=C3=B3rej {\em nast=C4=99pny} gra= cz (czyli ten, czyja jest kolej) wygra, je=C5=9Bli b=C4=99dzie gra= =C4=87 prawid=C5=82owo (oboj=C4=99tnie, co zrobi drugi gracz). {\em P-pozycja} to pozycja, w~kt=C3=B3rej {\em poprzedni} gracz (czyli ten, kt=C3=B3ry do niej doprowadzi=C5=82) wygra, je=C5=9Bl= i b=C4=99dzie gra=C4=87 prawid=C5=82owo. Maj=C4=85c graf gry N-pozycje i~P-poz= ycje znajduje si=C4=99 \quotation{indukcj=C4=85 wsteczn=C4=85}: pozycj= e ko=C5=84cowe to P-pozycje, pozycje, z~kt=C3=B3rych mo=C5=BCna doj=C5=9B=C4=87 = jednym ruchem do P-pozycji to N-pozycje, za=C5=9B pozycje, z~kt=C3=B3rych {\em ka=C5=BCdy} ruch prowadzi do N-pozycji to zn=C3=B3w P-pozycje (w~szczeg=C3=B3lno=C5=9Bci warunek ten spe=C5=82niaj=C4=85 pozycj= e ko=C5=84cowe!). \stopteacher \startanswer \placefigure[none,middle]{}{% \starttikzpicture[x=3D2.5cm,y=3D-2cm] \def\pos#1#2#3#4#5{$(#1,#2,#3)^{#4}$\rlap{\!,\,#5}} \node (112) at (0,0) {\hphantom{\!,\,2}\pos112N2\hphantom{\!,= \,2}}; \node (012) at (-1,1) {\pos012N3}; \node (102) at (0,1) {\pos102N3}; \node (111) at (1,1) {\pos111N1}; \node (002) at (-2,2) {\pos002N2}; \node (011) at (-1,2) {\pos011P0}; \node (101) at (1,2) {\pos101P0}; \node (110) at (2,2) {\pos110P0}; \node (001) at (-1,3) {\pos001N1}; \node (010) at (0,3) {\pos010N1}; \node (100) at (1,3) {\pos100N1}; \node (000) at (0,4) {\pos000P0}; \startscope[->] \draw (112) -- (012); \draw (112) -- (102); \draw (112) -- (111); \draw (112) -| (110); \draw (012) -- (002); \draw (012) -- (011); \draw (012) -- (010); \draw (102) -- (002); \draw (102) -- (101); \draw (102) -- (100); \draw (111) -- (011); \draw (111) -- (101); \draw (111) -- (110); \draw (002) -- (001); \draw (002) |- (000); \draw (011) -- (001); \draw (011) -- (010); \draw (101) -- (001); \draw (101) -- (100); \draw (110) -- (010); \draw (110) -- (100); \draw (001) -- (000); \draw (010) -- (000); \draw (100) -- (000); \stopscope \stoptikzpicture} P-pozycje to dok=C5=82adnie te pozycje, dla kt=C3=B3rych nim-suma liczebno=C5=9Bci kupek wynosi~\math{0}. \stopanswer \stopitem \startitem Kt=C3=B3ry gracz ma strategi=C4=99 wygrywaj=C4=85c=C4=85, je=C5=9Bl= i pocz=C4=85tkowe liczebno=C5=9Bci kupek wynosz=C4=85 \math{(3,5,9)}? A~\math{(3,5,6= )}? (W~jednej z~tych sytuacji pierwszy gracz wygrywa, o~ile b=C4=99dzie gra=C5=82 prawid=C5=82owo. Jaki powinien by=C4=87 jego pierwszy ru= ch? Ile istnieje takich \quotation{wygrywaj=C4=85cych} ruch=C3=B3w?) \startanswer \math{3\oplus 5\oplus 9=3D15\ne 0}, wi=C4=99c jest to N-pozycja i~pierwszy gracz wygrywa. Poniewa=C5=BC \math{3\oplus 5=3D6}, mo= =C5=BCe wzi=C4=85=C4=87 \math{3}~kamienie z~trzeciej kupki (zostawiaj=C4= =85c na niej~\math{6}; przy okazji wida=C4=87, =C5=BCe \math{3,5,6} jest P-pozycj=C4=85 i~gracz startuj=C4=85cy z~niej przegrywa). Poniew= a=C5=BC \math{3\oplus 9=3D10>5}, zabranie =C5=BCadnej liczby kamieni z~drugiej kupki nie pozwala wygra=C4=87 pierwszemu graczowi; analogicznie jest z~pierwsz=C4=85 kupk=C4=85 (\math{5\oplus 9=3D1= 2>3}). Zatem jedyny wygrywaj=C4=85cy ruch to zabranie \math{3}~kamieni z~trzeciej kupki. \stopanswer \stopitem \startitem Wymy=C5=9Blcie kilka wariant=C3=B3w {\em Nima}; sprawd=C5=BAcie, ja= k si=C4=99 w~nie gra. \startanswer Mo=C5=BCna zwi=C4=99kszy=C4=87 liczb=C4=99 kupek, wprowadzi=C4=87= minimaln=C4=85 lub maksymaln=C4=85 liczb=C4=99 kamieni, jakie mo=C5=BCna zabra=C4=87= w~jednym ruchu, zmieni=C4=87 warunek wygranej na przeciwny (przegrywa gracz, kt=C3=B3ry we=C5=BAmie ostatni kamie=C5=84) i~in. (Jeden z~wariant=C3=B3w {\em Nima}, {\em Wythoff}, jest przedmiotem kolejnego zadania.) \stopanswer \stopitem \stopexercises \stopsubject \stopchapter \startchapter[title=3D{Wythoff\time{20--30}}] \startsubject[title=3D{Zasady gry}] Gra przebiega podobnie jak {\em Nim}, z~dwiema r=C3=B3=C5=BCnicami: s= =C4=85 tylko dwie kupki kamieni, ale opr=C3=B3cz zabrania dowolnej liczby kamieni z~wybranej kupki mo=C5=BCna te=C5=BC zabra=C4=87 dowoln=C4=85 liczb=C4= =99 kamieni z~{\em obu} kupek na raz, pod warunkiem, =C5=BCe we=C5=BAmiemy ich {\em tyle samo} z~ka=C5=BCdej z~nich. \stopsubject \startsubject[title=3D{Zadania}] \startexercises \startitem Rozegrajcie kilka partii (dla r=C3=B3=C5=BCnych liczebno=C5=9Bci po= cz=C4=85tkowych kupek). Jakimi wynikami mo=C5=BCe si=C4=99 zako=C5=84czy=C4=87 {\e= m Wythoff}? \startanswer Wygran=C4=85 kt=C3=B3rego=C5=9B z~graczy\ppauza remis jest niemo= =C5=BCliwy. \stopanswer \stopitem \startitem[2] Znajd=C5=BAcie przyk=C5=82adowe P-pozycje i N-pozycje. \startanswer Przyk=C5=82adowe P-pozycje: \math{(1,2)}, \math{(3,5)}. Przyk=C5=82adowe N-pozycje: \math{(0,n)}, \math{(n,n)}, \math{(1,966)}. \stopanswer \stopitem \startitem[3] Rozwa=C5=BCmy nast=C4=99puj=C4=85c=C4=85 gr=C4=99. Na pewnym polu = szachownicy ustawiamy pionek. W~ka=C5=BCdym ruchu mo=C5=BCna przesun=C4=85=C4= =87 go o~dowoln=C4=85 liczb=C4=99 p=C3=B3l w~d=C3=B3=C5=82, w~lewo b=C4=85d=C5=BA ukosem = w~lewo-d=C3=B3=C5=82. Zauwa=C5=BCcie, =C5=BCe gra ta w~istocie nie r=C3=B3=C5=BCni si=C4=99 od {\em Wytho= ffa}. \stopitem \startitem Naszkicujcie graf {\em Wythoffa} dla gry rozpoczynaj=C4=85cej si=C4= =99 od kupek licz=C4=85cych \math{1} i~\math{2} kamieni. \startanswer \starttikzpicture[x=3D3cm,y=3D1cm,baseline=3D(01.base)]%{($(0,1)-= (0,.5ex)$)}] \def\pos#1#2#3{\math{(#1,#2)^{#3}}} \node (00) at (0,0) {\pos00P}; \node (10) at (1,0) {\pos10N}; \node (20) at (2,0) {\pos20N}; \node (01) at (0,1) {\pos01N}; \node (11) at (1,1) {\pos11N}; \node (21) at (2,1) {\pos21P}; \startscope[->] \draw (21) -- (11); \draw (21) -- +(0,.5) -| (01); \draw (21) -- (10); \draw (21) -- (20); \draw (11) -- (01); \draw (11) -- (00); \draw (11) -- (10); \draw (01) -- (00); \draw (20) -- (10); \draw (20) -- +(0,-.5) -| (00); \draw (10) -- (00); \stopscope \stoptikzpicture \stopanswer \stopitem \startitem Opiszcie uk=C5=82ady pocz=C4=85tkowe, kt=C3=B3re gwarantuj=C4=85 wy= gran=C4=85 II~graczowi (czyli P-pozycje). \startanswer Uwaga: poni=C5=BCsze rozumowanie lepiej wida=C4=87 na obrazku (odr=C4=99cznie). Opr=C3=B3cz tych wymienionych w~odpowiedzi do \in{punktu}{.}[2], uk=C5=82ady takie to m.in. \math{(4,7)}, \math{(6,10)} itd. Ka=C5=BCdy taki uk=C5=82ad powstaje z~poprzedniego w~nast=C4=99pu= j=C4=85cy spos=C3=B3b: bierzemy najmniejsz=C4=85 liczb=C4=99 naturaln=C4=85= ~\math{n_1}, kt=C3=B3ra dot=C4=85d nie wyst=C4=85pi=C5=82a w~=C5=BCadnym uk=C5= =82adzie\ppauza b=C4=99dzie to liczba kamieni w~mniejszej kupce; w~wi=C4=99kszej kupce b=C4=99dz= ie \math{n_2=3Dn_1+d} kamieni, gdzie r=C3=B3=C5=BCnica~\math{d} jest o~jeden wi=C4=99ksza ni=C5=BC r=C3=B3=C5=BCnica liczebno=C5=9Bci = kupek w~poprzednim uk=C5=82adzie. Takie pary liczb maj=C4=85 odpowiednie w=C5=82asno=C5=9Bci. Po p= ierwsze, nie mo=C5=BCna (zabieraj=C4=85c kamienie zgodnie z~zasadami) prze= j=C5=9B=C4=87 od =C5=BCadnego z~tych uk=C5=82ad=C3=B3w do =C5=BCadnego z~poprze= dnich: poniewa=C5=BC ka=C5=BCda liczba naturalna wyst=C4=99puje w=C5=9Br=C3=B3d opisan= ych uk=C5=82ad=C3=B3w dok=C5=82adnie raz (dlaczego?), zabieraj=C4=85c kamienie z~{\em jednej} kupki nie jeste=C5=9Bmy w~stanie przej=C5=9B=C4=87 do j= ednego z~poprzednich uk=C5=82ad=C3=B3w; poniewa=C5=BC za=C5=9B {\em r=C3= =B3=C5=BCnice} r=C3=B3wnie=C5=BC si=C4=99 nie powtarzaj=C4=85, zabieraj=C4=85c kamienie z~{\em obu= } kupek r=C3=B3wnie=C5=BC nie dojdziemy do =C5=BCadnego z~poprzednich uk= =C5=82ad=C3=B3w. Po drugie, je=C5=9Bli startujemy z~uk=C5=82adu innego ni=C5=BC kt= =C3=B3ry=C5=9B z~powsta=C5=82ych w~opisany spos=C3=B3b, zawsze mo=C5=BCemy doj= =C5=9B=C4=87 do kt=C3=B3rego=C5=9B z~nich; naj=C5=82atwiej zobaczy=C4=87 to rysuj= =C4=85c je na szachownicy i~korzystaj=C4=85c z~wersji {\em Wythoffa} opisanej w~\in{punkcie}[3]. W=C5=82asno=C5=9Bci te powoduj=C4=85, =C5=BCe ka=C5=BCdy z~opisan= ych uk=C5=82ad=C3=B3w prowadzi do wygranej gracza, kt=C3=B3rego ruch akurat przypada, a~ka=C5=BC= dy inny uk=C5=82ad do jego przegranej. \stopanswer \stopitem \stopexercises \stopsubject \stopchapter \startchapter[title=3D{Hex\time{15--20}}] \startsubject[title=3D{Zasady gry}] Gra toczy si=C4=99 na planszy w~kszta=C5=82cie rombu z=C5=82o=C5=BConej= z~p=C3=B3l w~kszta=C5=82cie sze=C5=9Bciok=C4=85t=C3=B3w foremnych; boki rombu s=C4= =85 oznaczone kolorem bia=C5=82ym b=C4=85d=C5=BA czarnym tak, =C5=BCe przeciwleg=C5= =82e boki maj=C4=85 ten sam kolor. Gracze na przemian zagrywaj=C4=85 swoje piony (gracz~I bia=C5= =82e, gracz~II czarne) na tych polach; raz po=C5=82o=C5=BCony na planszy pion pozostaje w~tym samym miejscu do ko=C5=84ca gry. Wygrywa ten z~graczy, kt=C3=B3ry po=C5=82=C4=85czy boki rombu w~\quotation{swoim} kolorze =C5= =82a=C5=84cuchem swoich pion=C3=B3w (tj. ci=C4=85giem pion=C3=B3w le=C5=BC=C4=85cych na = polach stykaj=C4=85cych si=C4=99 bokami). \def\hexboard#1#2{% \coordinate (w) at (1,0); \coordinate (e) at ($(2,0)+#1*(3,0)$); \coordinate (n) at ($(0,1.155)+(1.5,-0.866)+#1*(1.5,0.866)$); \coordinate (s) at ($(0,-1.155)+(1.5,0.866)+#1*(1.5,-0.866)$); \coordinate (c) at ($(1.5,0)+#1*(1.5,0)$); \filldraw[fill=3Dblack!40] (w) -- (c) -- (n) -- cycle; \filldraw[fill=3Dblack!40] (s) -- (c) -- (e) -- cycle; \filldraw[fill=3Dwhite] (w) -- (c) -- (s) -- cycle; \filldraw[fill=3Dwhite] (n) -- (c) -- (e) -- cycle; \foreach \ROW in {1,...,#1} \foreach \COL in {1,...,#1} { \filldraw[fill=3Dwhite, shift=3D{($\ROW*(30:1.732)+\COL*(-30:1.732)$)}] (0:1) -- (60:1) -- (120:1) -- (180:1) -- (240:1) -- (300:1) -- cycle; } \foreach \ROW in {1,...,#1} \node at ($\ROW*(30:1.732)+(-30:1.732)+(150:1.732)$) {\switchtobodyfont[#2]\Characters{\ROW}}; \foreach \COL in {1,...,#1} \node at ($\COL*(-30:1.732)+(30:1.732)+(-150:1.732)$) {\switchtobodyfont[#2]\COL}; } \placefigure[none,middle]{}{% \starttikzpicture[scale=3D0.5] \hexboard{5}{6pt} \stoptikzpicture} \stopsubject \startsubject[title=3D{Zadania}] \startexercises \startitem Rozegrajcie kilka partii na planszach r=C3=B3=C5=BCnych wymiar=C3= =B3w (\math{2\times 2}, \math{3\times 3}, \math{4\times 4}, \math{5\times 5}). Kt=C3=B3ry gracz ma strategi=C4=99 wygrywaj=C4= =85c=C4=85 na ma=C5=82ych planszach? \stopitem \startitem Jakimi wynikami mo=C5=BCe sko=C5=84czy=C4=87 si=C4=99 {\em Hex}? \startanswer Wygran=C4=85 kt=C3=B3rego=C5=9B z~graczy\ppauza remis jest niemo= =C5=BCliwy. \stopanswer \stopitem \startitem Udowodnijcie, =C5=BCe pierwszy gracz ma strategi=C4=99 wygrywaj=C4= =85c=C4=85 na planszy dowolnego rozmiaru. \startanswer Mo=C5=BCna zastosowa=C4=87 rozumowanie zwane {\em kradzie=C5=BC= =C4=85 strategii}. Gdyby to {\em drugi gracz} mia=C5=82 strategi=C4=99 wygrywaj=C4=85c=C4=85 (czyli mia=C5=82 {\em optymaln=C4=85} odpow= ied=C5=BA na ka=C5=BCdy ruch pierwszego, prowadz=C4=85cy do wygranej), pierwszy gracz m=C3=B3g=C5=82by zrobi=C4=87 pierwszy ruch dowolnie, a~potem \quotation{zapomnie=C4=87} o~nim i~traktowa=C4=87 odpowied=C5=BA = drugiego jako \quotation{pierwszy} ruch i~stosowa=C4=87 wygrywaj=C4=85c=C4= =85 strategi=C4=99 (jako \quotation{drugi} gracz). Gdyby strategia ta wymaga=C5=82a postawienia pionu tam, gdzie gracz ten ju=C5=BC postawi=C5=82 sw=C3=B3j pion (np. w~pierwszym ruchu), mo=C5=BCna = postawi=C4=87 pion gdziekolwiek. Poniewa=C5=BC stoj=C4=85cy gdzie=C5=9B pion p= ierwszego gracza w~niczym nie mo=C5=BCe {\em pogorszy=C4=87} jego sytuacji, opisane post=C4=99powanie prowadzi do wygranej pierwszego gracza, wbrew za=C5=82o=C5=BCeniu, =C5=BCe to drugi ma strategi=C4=99 wyg= rywaj=C4=85c=C4=85. \stopanswer \stopitem \startitem Kt=C3=B3ry gracz ma strategi=C4=99 wygrywaj=C4=85c=C4=85 na planszy= \math{3\times 3}, je=C5=9Bli bia=C5=82e nie mog=C4=85 w~pierwszym ruchu zagra= =C4=87 na =C5=9Brodku planszy? \startteacher Zadanie otwarte, do dyskusji/eksperyment=C3=B3w. \stopteacher \stopitem \stopexercises \stopsubject \stopchapter \startchapter[title=3D{Zakre=C5=9Bl do pi=C4=99tnastu\time{15--20}}] \startsubject[title=3D{Zasady gry}] Wypisujemy na kartce liczby od~\math{1} do~\math{9}. Gracze na przemian zakre=C5=9Blaj=C4=85 liczb=C4=99 (ka=C5=BCdy swoim kolorem). = Gracz, kt=C3=B3ry jako pierwszy w=C5=9Br=C3=B3d \quotation{swoich} liczb b=C4=99dzie mia= =C5=82 tr=C3=B3jk=C4=99 liczb, kt=C3=B3rych suma wynosi~\math{15}, wygrywa. \stopsubject \startsubject[title=3D{Zadania}] \startexercises \startitem Jakimi wynikami mo=C5=BCe zako=C5=84czy=C4=87 si=C4=99 gra? \startanswer Wygran=C4=85 jednego z~graczy lub remisem. \stopanswer \stopitem \startitem Rozegrajcie kilka\ppauza kilkana=C5=9Bcie gier. Czy pierwszy gracz mo=C5=BCe zawsze wygra=C4=87? A~drugi? \startanswer Nie, gdy obaj gracze graj=C4=85 optymalnie, gra ko=C5=84czy si=C4= =99 remisem. (Optymaln=C4=85 strategi=C4=99 zobaczymy za chwil=C4=99= .) \stopanswer \stopitem \startitem Wypiszcie wszystkie tr=C3=B3jki liczb ze zbioru \math{\{1,2,\dots,9\}}, kt=C3=B3re sumuj=C4=85 si=C4=99 do~\math{15= }. Jak wypisa=C4=87 je \quotation{po kolei}, czyli tak, by =C5=BCadnej nie pomin=C4=85=C4=87 i~=C5=BCadnej nie wypisa=C4=87 wi=C4=99cej ni=C5= =BC jeden raz? Ile ich jest? Kt=C3=B3re liczby ile razy wyst=C4=99puj=C4=85 w~tych tr=C3= =B3jkach? \startanswer \math{(1,5,9)}, \math{(1,6,8)}, \math{(2,4,9)}, \math{(2,5,8)}, \math{(2,6,7)}, \math{(3,4,8)}, \math{(3,5,7)}, \math{(4,5,6)}. Ka=C5=BCda tr=C3=B3jka wypisana = jest rosn=C4=85co i~wypisane s=C4=85 w~porz=C4=85dku leksykograficznym= . Tr=C3=B3jek jest \math{8}, a~poszczeg=C3=B3lne liczby wyst=C4=99puj=C4=85 w~n= ich: \math{5} czterokrotnie, \math{2,4,6,8} trzykrotnie, \math{1,3,7,9} dwukrotnie. \stopanswer \stopitem \startitem Jak u=C5=82o=C5=BCy=C4=87 liczby od \math{1} do~\math{9}, =C5=BCeby= by=C5=82o =C5=82atwiej gra=C4=87, tj. =C5=BCeby tr=C3=B3jki sumuj=C4=85ce si=C4=99 do~\mat= h{15} by=C5=82y \quotation{dobrze widoczne}? \startanswer U=C5=82o=C5=BCenie ich np. w~nast=C4=99puj=C4=85cym {\em kwadraci= e magicznym} \starttabulate[|c|c|c|][before=3D{},after=3D{}] \NC 2 \NC 9 \NC 4 \NC\NR \NC 7 \NC 5 \NC 3 \NC\NR \NC 6 \NC 1 \NC 8 \NC\NR \stoptabulate pokazuje, =C5=BCe rozwa=C5=BCana gra jest to po prostu {\em K=C3=B3=C5=82ko i~krzy=C5=BCyk} w~przebraniu. \stopanswer \stopitem \stopexercises \stopsubject \stopchapter \startchapter[title=3D{K=C3=B3=C5=82ko i~krzy=C5=BCyk\time{15--20}}] \startsubject[title=3D{Zasady gry}] Znane ka=C5=BCdemu (?). \stopsubject \startsubject[title=3D{Zadania}] \startexercises \startitem Jakie s=C4=85 mo=C5=BCliwe wyniki w~grze w~{\em K=C3=B3=C5=82ko i~k= rzy=C5=BCyk}? \startanswer Wygrana jednego z~graczy lub remis. \stopanswer \stopitem \startitem Narysujcie dwa pocz=C4=85tkowe poziomy drzewa gry. Narysujcie jedn=C4=85 lub dwie ga=C5=82=C4=99zie a=C5=BC do zako=C5=84czenia g= ry. \startanswer (odr=C4=99cznie) \stopanswer \stopitem \startitem Oszacujcie liczb=C4=99 mo=C5=BCliwych rozgrywek w~{\em K=C3=B3=C5= =82ko i~krzy=C5=BCyk}. \startanswer \startitemize[a,packed][stopper=3D)] \startitem Prostym ograniczeniem g=C3=B3rnym jest \math{9!=3D362\,880}. \stopitem \startitem Je=C5=9Bli wzi=C4=85=C4=87 pod uwag=C4=99 symetrie w~pocz=C4= =85tkowych dw=C3=B3ch ruchach (w~p=C3=B3=C5=BAniejszych ruchach staje si=C4=99 to b= ardziej skomplikowane), mo=C5=BCna post=C4=99powa=C4=87 nast=C4=99puj= =C4=85co. Pierwszy ruch mo=C5=BCna wykona=C4=87 na \math{3} sposoby (=C5=9Brodek= , r=C3=B3g, bok). Je=C5=9Bli pierwszy ruch by=C5=82 w~=C5=9Brodku, drugi= ruch mo=C5=BCe zosta=C4=87 wykonany na \math{2} sposoby; je=C5=9Bli w~rogu l= ub na boku, na \math{5} sposob=C3=B3w. Zatem pierwsze dwa ruchy mo=C5=BCna wykona=C4=87 na \math{1\cdot 2+2\cdot 5=3D12} spos= ob=C3=B3w, a~pozosta=C5=82e siedem na nie wi=C4=99cej ni=C5=BC \math{7!= =3D5040} sposob=C3=B3w; zatem wszystkich gier mo=C5=BCe by=C4=87 najwy= =C5=BCej \math{12\cdot 7!=3D60\,480}. \stopitem \startitem Je=C5=9Bli wzi=C4=85=C4=87 pod uwag=C4=99 symetrie do trzecie= go ruchu, analogiczne rozumowanie pokazuje, =C5=BCe liczba mo=C5=BCliwy= ch rozgrywek nie przekracza \startformula (2\cdot4+2\cdot4+3\cdot7)\cdot 6!=3D30\,960. \stopformula \stopitem \startitem Powy=C5=BCsza analiza nie bierze pod uwag=C4=99 ani mo=C5=BCl= iwych symetrii w~dalszych ruchach, ani tego, =C5=BCe niekt=C3=B3re = gry ko=C5=84cz=C4=85 si=C4=99 przed zape=C5=82nieniem planszy. W= ~2002 roku obliczono, =C5=BCe dok=C5=82adna liczba rozgrywek w~{\em k=C3= =B3=C5=82ko i~krzy=C5=BCyk} wynosi \math{26\,830}. \stopitem \stopitemize \stopanswer \stopitem \startitem Rozegrajcie kilka gier. Co powinien zrobi=C4=87 pierwszy gracz? Jaki ruch pierwszego gracza {\em gwarantuje} mu wygran=C4=85, niezale=C5=BCnie od tego, jak gra drugi gracz? A~jaki {\em gwarantuje} przegran=C4=85, je=C5=9Bli drugi gracz gra optymalnie? \startanswer Oboj=C4=99tnie, co zrobi pierwszy gracz w~pierwszym ruchu, je=C5= =9Bli w~dalszym ci=C4=85gu b=C4=99dzie gra=C5=82 optymalnie, nie przegr= a; jednak =C5=BCaden ruch nie gwarantuje mu wygranej. (Nie b=C4=99dziemy t= ego rozpisywa=C4=87/dowodzi=C4=87.) \stopanswer \stopitem \startitem Jak wygl=C4=85da macierz gry w~{\em K=C3=B3=C5=82ko i~krzy=C5=BCyk}? \startanswer \quotation{Strategiami} ka=C5=BCdego z~graczy b=C4=99d=C4=85 funk= cje, kt=C3=B3re ka=C5=BCdej {\em sytuacji} na planszy przyporz=C4=85dkowuj=C4=85 = {\em ruch}. Oczywi=C5=9Bcie, r=C3=B3=C5=BCne uk=C5=82ady strategii = I i~II gracza b=C4=99d=C4=85 prowadzi=C4=87 do r=C3=B3=C5=BCnych wynik=C3=B3w g= ry. \stopanswer \stopitem % \startitem % Opiszcie w=C5=82asno=C5=9Bci gry w~k=C3=B3=C5=82ko i~krzy=C5=BCyk. % \startanswer % Jest dw=C3=B3ch graczy; gracze wykonuj=C4=85 ruchy kolejno, a~n= ie % jednocze=C5=9Bnie (chyba, =C5=BCe przez \quotation{ruch} b=C4= =99dziemy % rozumie=C4=87 \quotation{wyb=C3=B3r strategii} (w~sensie poprze= dniego % zadania)); gracze dysponuj=C4=85 pe=C5=82n=C4=85 informacj=C4= =85; gra ko=C5=84czy si=C4=99 % po sko=C5=84czenie wielu ruchach (maksymalnie dziewi=C4=99ciu); % \stopanswer % \stopitem \startitem Opiszcie optymaln=C4=85 strategi=C4=99 w~{\em K=C3=B3=C5=82ko i~krz= y=C5=BCyk} dla I i~II gracza. \startanswer Oto przyk=C5=82adowy zapis strategii optymalnej (co ciekawe, dzia=C5=82aj=C4=85cy dla ka=C5=BCdego gracza). W~ka=C5=BCdej syt= uacji nale=C5=BCy sprawdza=C4=87, czy kolejne punkty maj=C4=85 zastosowanie, i~je= =C5=9Bli tak, wykona=C4=87 opisan=C4=85 w~nich akcj=C4=99. \startitemize[a,packed][stopper=3D)] \startitem[a] Je=C5=9Bli masz dwa symbole w~rz=C4=99dzie, a~trzecie miejsce= jest puste, zakre=C5=9Bl to puste miejsce; {\em wygrywasz}. \stopitem \startitem Je=C5=9Bli przeciwnik ma dwa symbole w~rz=C4=99dzie, a~trzecie miejsce jest puste, zakre=C5=9Bl to puste miejsce. \stopitem \startitem Je=C5=9Bli mo=C5=BCesz, stw=C3=B3rz {\em zagro=C5=BCenie}, cz= yli sytuacj=C4=99, w~kt=C3=B3rej masz {\em dwa} rz=C4=99dy z~dwoma swoimi symbol= ami i~trzecim pustym miejscem. \stopitem \startitem Je=C5=9Bli w~nast=C4=99pnym ruchu przeciwnik b=C4=99dzie w~st= anie utworzy=C4=87 {\em zagro=C5=BCenie}, utw=C3=B3rz sytuacj=C4= =99 opisan=C4=85 w~\in{punkcie}{)}[a]. \stopitem \startitem Je=C5=9Bli =C5=9Brodek jest wolny, zagraj w~nim. \stopitem \startitem Je=C5=9Bli przeciwnik zagra=C5=82 w~naro=C5=BCniku i~przeciwl= eg=C5=82y naro=C5=BCnik jest wolny, zagraj w~nim. \stopitem \startitem Je=C5=9Bli kt=C3=B3rykolwiek naro=C5=BCnik jest wolny, zagraj= w~nim. \stopitem \startitem Zagraj gdziekolwiek. \stopitem \stopitemize \stopanswer \stopitem \startitem Wymy=C5=9Blcie kilka wariant=C3=B3w {\em K=C3=B3=C5=82ka i~krzy=C5= =BCyka}. \startanswer Do znanych wariant=C3=B3w nale=C5=BC=C4=85 np. {\em K=C3=B3=C5=82= ko i~krzy=C5=BCyk} na planszy \math{4\times 4} (do wygranej trzeba mie=C4=87 \math{4} swoje symbole w~wierszu, kolumnie lub na przek=C4=85tnej), {\em gomoku} (do wygranej trzeba mie=C4=87 \math{5} symboli, plansza ma rozmiar \math{19\times19}), {\em K=C3=B3=C5=82ko i~krzy=C5=BCy= k} tr=C3=B3jwymiarowe (i~w~wy=C5=BCszych wymiarach), {\em Anty-k=C3= =B3=C5=82ko i~krzy=C5=BCyk}, gdzie gracz, kt=C3=B3ry ma trzy symbole w~rz= =C4=99dzie, przegrywa, {\em kwantowe K=C3=B3=C5=82ko i~krzy=C5=BCyk} i~wiele = innych. \stopanswer \stopitem \stopexercises \stopsubject \stopchapter \startchapter[title=3D{Kie=C5=82ki\time{10--15}}] \startsubject[title=3D{Zasady gry}] Na kartce rysujemy cztery kropki (lub inn=C4=85 ich liczb=C4=99). Grac= ze wykonuj=C4=85 ruchy na przemian. Ruch polega na po=C5=82=C4=85czeniu d= w=C3=B3ch wybranych kropek lini=C4=85 i~narysowaniu na tej linii (ale nie na =C5=BCadnym z~ko=C5=84c=C3=B3w) kolejnej kropki, przy czym nale=C5=BCy = przestrzega=C4=87 nast=C4=99puj=C4=85cych dw=C3=B3ch zasad: \startitemize[r,text][stopper=3D] \startitem linie nie mog=C4=85 si=C4=99 przecina=C4=87, \stopitem \startitem[kielki2] z~jednej kropki mog=C4=85 wychodzi=C4=87 co najwy=C5=BCej trzy lini= e. \stopitem \stopitemize Gracz, kt=C3=B3ry nie mo=C5=BCe wykona=C4=87 ruchu zgodnie z~tymi zasad= ami, przegrywa. \stopsubject \startsubject[title=3D{Zadania}] \startexercises \startitem Rozegrajcie kilka partii. Czy potraficie gra=C4=87 tak, =C5=BCeby = gra si=C4=99 {\em nie} sko=C5=84czy=C5=82a? \stopitem \startitem Udowodnijcie, =C5=BCe gra w~{\em Kie=C5=82ki} zawsze ko=C5=84czy si= =C4=99 po sko=C5=84czenie wielu ruchach. \startanswer Na pocz=C4=85tku jest \math{4\times 3=3D12} mo=C5=BCliwych ko=C5= =84c=C3=B3w linii, bo z~ka=C5=BCdej z~\math{4} kropek mog=C4=85 wychodzi=C4=87 maksymalnie~\math{3} linie. W~ka=C5=BCdym ruchu, rysuj=C4=85c li= ni=C4=99, zmniejszamy t=C4=99 liczb=C4=99 o~\math{2} (\quotation{wykorzystu= jemy} dwa mo=C5=BCliwe ko=C5=84ce) i~zwi=C4=99kszamy o~\math{1} (bo dor= ysowana kropka mo=C5=BCe by=C4=87 ko=C5=84cem tylko dla jednej linii, zgo= dnie z~\in{zasad=C4=85}[kielki2]). \stopanswer \stopitem \stopexercises \stopsubject \stopchapter \startchapter[title=3D{Gry w~ko=C5=9Bci\time{10--20}}] \startexercises \startitem Rozwa=C5=BCmy nast=C4=99puj=C4=85c=C4=85 gr=C4=99. Rzucamy ko=C5=9Bc= i=C4=85 (symetryczn=C4=85, sze=C5=9Bcienn=C4=85), po czym, je=C5=9Bli chcemy, rzucamy ponownie (= ale najwy=C5=BCej raz). \startitemize[a,packed][stopper=3D)] \startitem Jak b=C4=99dzie wygl=C4=85da=C5=82a macierz tej gry? \startanswer W~wierszach b=C4=99d=C4=85 znajdowa=C4=87 si=C4=99 {\em strateg= ie gracza}, czyli \quotation{przepisy} okre=C5=9Blaj=C4=85ce spos=C3=B3b po= st=C4=99powania (tj. czy przerzucamy ko=C5=9B=C4=87 czy nie) dla ka=C5=BCdego w= yniku pierwszego rzutu. W~kolumnach b=C4=99d=C4=85 znajdowa=C4=87 si= =C4=99 {\em strategie przyrody}, czyli wyniki dw=C3=B3ch kolejnych rzut= =C3=B3w ko=C5=9Bci=C4=85. \stopanswer \stopitem \startitem Ile jest mo=C5=BCliwych strategii gracza, a~ile przyrody w~tej grze? \startanswer Gracz ma \math{2^6=3D64} strategie: dla ka=C5=BCdego z~sze=C5= =9Bciu mo=C5=BCliwych wynik=C3=B3w niezale=C5=BCnie okre=C5=9Blamy, cz= y przerzucamy ko=C5=9B=C4=87, czy nie (zasada mno=C5=BCenia lub wariacje z~powt=C3=B3rzeniami\ppauza sze=C5=9B=C4=87 razy wybieramy niez= ale=C5=BCnie jedn=C4=85 z~dw=C3=B3ch mo=C5=BCliwo=C5=9Bci). Przyroda ma \ma= th{6^2=3D36} strategii. \stopanswer \stopitem \startitem Rozwa=C5=BCmy nast=C4=99puj=C4=85c=C4=85 strategi=C4=99: \quotati= on{je=C5=9Bli wypadnie \math{k} lub mniej oczek, przerzucamy ko=C5=9B=C4=87, w~przeciw= nym wypadku pozostajemy przy wyniki pierwszego rzutu}. Jakie powinno by=C4=87 \math{k}, aby warto=C5=9B=C4=87 oczekiwana wynik= u by=C5=82a najwi=C4=99ksza? \startanswer Warto=C5=9B=C4=87 oczekiwana wynosi \startformula k(\tfrac{1}{6^2}1+\cdots+\tfrac{1}{6^2}6) +\bigl(\tfrac{1}{6}(k+1)+\cdots+\tfrac{1}{6}6\bigr) =3D\tfrac{1}{12}(-k^2+6k+42), \stopformula a~wi=C4=99c osi=C4=85ga maksimum dla \math{k_{\rm max}=3D3}. \stopanswer \stopitem \stopitemize \stopitem \startitem Rozwa=C5=BCmy podobn=C4=85 gr=C4=99, w~kt=C3=B3rej mo=C5=BCna przerzu= ci=C4=87 ko=C5=9B=C4=87 co najwy=C5=BCej dwa razy. \startitemize[a,packed][stopper=3D)] \startitem Ile jest mo=C5=BCliwych strategii gracza w~tej grze? \startanswer Po pierwszym rzucie mamy tym razem nie dwie mo=C5=BCliwo=C5=9Bci (pozostanie b=C4=85d=C5=BA przerzucenie), ale \math{1+2^6} mo=C5=BCliwo=C5=9Bci: pozostanie (jeden spos=C3=B3b) b=C4=85d= =C5=BA kontynuacja (\math{2^6} sposob=C3=B3w na mocy poprzedniego zadania). Poniewa=C5=BC dalsze post=C4=99powanie okre=C5=9Blamy niezale= =C5=BCnie dla ka=C5=BCdego z~sze=C5=9Bciu wynik=C3=B3w, analogicznie jak popr= zednio mamy \startformula (1+2^6)^6=3D75\,418\,890\,625 \stopformula mo=C5=BCliwych strategii. \stopanswer \stopitem \startitem Kt=C3=B3ra strategia jest korzystniejsza (daje wi=C4=99ksz=C4=85 = warto=C5=9B=C4=87 oczekiwan=C4=85): \quotation{rzucamy tak d=C5=82ugo, a=C5=BC wypa= dnie wi=C4=99cej ni=C5=BC \math{3} oczka, ale nie wi=C4=99cej ni=C5= =BC trzy razy}, czy \quotation{je=C5=9Bli w~pierwszym rzucie wypad=C5=82a sz=C3= =B3stka, pozostajemy przy tym wyniku, w~przeciwnym przypadku rzucamy drugi raz; je=C5=9Bli w=C3=B3wczas wypadnie wi=C4=99cej= ni=C5=BC trzy oczka, pozostajemy przy tym wyniku, a~je=C5=9Bli nie, rzucamy po raz ostatni}? \startanswer Pierwsza strategia daje warto=C5=9B=C4=87 oczekiwan=C4=85 \math{4\frac{5}{8}=3D4{,}625}, za=C5=9B druga \math{4\frac{13}{24}\approx 4{,}542}. \stopanswer \stopitem \stopitemize \stopitem \startitem Rozwa=C5=BCmy nast=C4=99puj=C4=85c=C4=85 gr=C4=99: rzucamy par=C4=85 = ko=C5=9Bci, po czym mo=C5=BCemy raz przerzuci=C4=87 jedn=C4=85, drug=C4=85 lub obie ko=C5=9Bci. Wynikiem= jest suma oczek na obu ko=C5=9Bciach, chyba, =C5=BCe wypad=C5=82y dwie sz=C3=B3= stki, w=C3=B3wczas wynik wynosi zero. Jak=C4=85 zaproponowaliby=C5=9Bcie strategi=C4=99= w~tej grze? \startanswer Pytanie otwarte, nie jeste=C5=9Bmy w~stanie =C5=82atwo wyliczy=C4=87 strategii maksymalizuj=C4=85cej warto=C5=9B=C4=87 oczekiwan=C4=85 w= yniku w~tej grze. Warto przedyskutowa=C4=87 kilka problem=C3=B3w zwi=C4=85zany= ch z~t=C4=85 gr=C4=85, np. liczb=C4=99 mo=C5=BCliwych strategii (mo=C5=BCna przy= j=C4=85=C4=87, =C5=BCe ko=C5=9Bci s=C4=85 rozr=C3=B3=C5=BCnialne lub nie!), spos=C3=B3b post=C4=99pow= ania, gdy wypadnie jedna sz=C3=B3stka (np. gdy przerzucimy tylko drug=C4=85 ko=C5=9B= =C4=87, warto=C5=9B=C4=87 oczekiwana wyniesie \startformula \tfrac{1}{6}(6+1)+\cdots+\tfrac{1}{6}(6+5)+\tfrac{1}{6}\cdot0 =3D7\tfrac{1}{2}\text{,} \stopformula wi=C4=99c je=C5=9Bli na drugiej ko=C5=9Bci wypad=C5=82o wi=C4=99cej= ni=C5=BC~\math{1}, nie warto jej przerzuca=C4=87), wariant, w~kt=C3=B3rym za dwie sz=C3=B3= stki otrzymujemy \math{-6} punkt=C3=B3w. \stopanswer \stopitem \stopexercises \stopchapter \startchapter[title=3D{Projektowanie w=C5=82asnej gry\time{reszta czasu, \hskip 0pt plus 4em\penalty20\hskip 0pt plus -4em\relax 20--60= }}] \startsubject[title=3D{Pocz=C4=85tkowe zasady gry}] Gracze s=C4=85 w=C5=82a=C5=9Bcicielami fabryk znajduj=C4=85cych si=C4= =99 nad rzek=C4=85. Produkcja jest zwi=C4=85zana z~powstawaniem odpad=C3=B3w, kt=C3=B3re w= =C5=82a=C5=9Bciciele wylewaj=C4=85 do rzeki. Gdy poziom zanieczyszcze=C5=84 oka=C5=BCe si= =C4=99 zbyt du=C5=BCy, nast=C4=99puje kontrola i~wszystkie fabryki zostaj=C4=85 zamkni=C4=99te= . Wygrywa ten, kt=C3=B3ry zdo=C5=82a=C5=82 do tego momentu wyprodukowa=C4=87 najw= i=C4=99cej (zarobi=C4=87 najwi=C4=99cej pieni=C4=99dzy). We wsp=C3=B3lnej puli k=C5=82adziemy kamienie (patyczki, sztony...) w~liczbie dziesi=C4=99ciokrotnie wi=C4=99kszej od liczby graczy. Gracze kolejno rzucaj=C4=85 kostk=C4=85. Po rzucie ka=C5=BCdy gracz zabiera t= yle kamieni, ile wyrzuci=C5=82 oczek. Gdy kamienie si=C4=99 sko=C5=84cz=C4= =85, wygrywa gracz, kt=C3=B3ry zebra=C5=82 ich najwi=C4=99cej. \stopsubject \startsubject[title=3D{Zadania}] \startexercises[2*broad] \startitem Wymy=C5=9Blcie tytu=C5=82 dla tej gry. \stopitem \startitem Powy=C5=BCsze zasady zawieraj=C4=85 pewn=C4=85 niejasno=C5=9B=C4=87= . Znajd=C5=BAcie j=C4=85. \startanswer Nie wiadomo, co zrobi=C4=87, gdy gracz ko=C5=84cz=C4=85cy gr=C4= =99 ma wzi=C4=85=C4=87 {\em wi=C4=99cej} kamieni, ni=C5=BC pozosta=C5=82o w~puli: czy powin= ien wzi=C4=85=C4=87 tyle, ile ich tam jest, czy wpierw uzupe=C5=82ni=C4=87 pul=C4=99 odpowiedni=C4=85 liczb=C4=85 kamieni i~wzi=C4=85=C4=87 tyle, ile = wskazuje kostka. \stopanswer \stopitem \startitem Czy ta gra zawsze si=C4=99 sko=C5=84czy? Jaka jest minimalna, =C5= =9Brednia i~maksymalna liczba ruch=C3=B3w? \startanswer Tak\ppauza jest sko=C5=84czenie wiele kamieni, w~ka=C5=BCdym ruchu zabiera si=C4=99 co najmniej jeden. Najmniej ruch=C3=B3w b=C4=99= dzie, gdy wszyscy b=C4=99d=C4=85 wyrzucali sz=C3=B3stki: \math{\lceiling 10n/6\rceiling}, gdzie \math{n} to liczba graczy. Najwi=C4=99cej ruch=C3=B3w (\math{10n}) b=C4=99dzie, gdy wszyscy = b=C4=99d=C4=85 wyrzucali jedynki. =C5=9Arednio b=C4=99dzie \math{\lceiling 10n/3{,}5\rceiling} ruch=C3=B3w. \stopanswer \stopitem \startitem Powy=C5=BCej opisana gra jest bardzo nudna. Dlaczego? \startanswer Poniewa=C5=BC gracze nie podejmuj=C4=85 =C5=BCadnych decyzji, wsz= ystko rozstrzygaj=C4=85 rzuty ko=C5=9B=C4=87mi. \stopanswer \stopitem \startitem Jak mo=C5=BCna ulepszy=C4=87 t=C4=99 gr=C4=99? \startanswer Oto (otwarta) lista pomys=C5=82=C3=B3w (niekt=C3=B3re z~nich s=C4= =85 {\em z=C5=82e}, ale niech uczniowie sami do tego dojd=C4=85!). Warto zwr=C3=B3ci= =C4=87 uwag=C4=99, =C5=BCe {\em dobry} pomys=C5=82 oznacza nie tylko, = =C5=BCe gra staje si=C4=99 interesuj=C4=85ca (trzeba podejmowa=C4=87 nie=C5=82atwe = decyzje, zdarzaj=C4=85 si=C4=99 nieoczekiwane zwroty akcji itp.), ale te= =C5=BC ma uzsadanienie w~fabule gry. Ka=C5=BCdy pomys=C5=82 wymaga te=C5=BC sprawdzenia\ppauza przetestowania na kilku (w~rzeczywisto=C5=9Bci kilkudziesi=C4=99ciu czy kilkuset) rozgrywkach i~ewentualnej modyfikacji (a~czasem porzucenia). \startitemize[packed] \startitem Zmiana liczby kamieni. \stopitem \startitem Zmiana liczby ko=C5=9Bci (np. ka=C5=BCdy gracz rzuca trzema k= o=C5=9B=C4=87mi). \stopitem \startitem Mo=C5=BCliwo=C5=9B=C4=87 kilkukrotnego (np. trzykrotnego) pow= t=C3=B3rzenia rzutu wybranymi ko=C5=9B=C4=87mi. \stopitem \startitem Zabieranie kamieni w~innej liczbie ni=C5=BC wynik na kostce (lub suma wynik=C3=B3w): mo=C5=BCna rozwa=C5=BCy=C4=87 iloczy= n, kwadrat lub pierwiastek sumy, sum=C4=99 r=C3=B3=C5=BCnic mi=C4=99dzy wyni= kami lub jeszcze inn=C4=85 funkcj=C4=99. (Niekt=C3=B3re funkcje nadaj= =C4=85 si=C4=99 do tego kiepsko, np. kwadrat sumy prowadzi do do=C5=9B=C4=87 du= =C5=BCych liczb, co jest niewygodne.) \stopitem \startitem Wprowadzenie uk=C5=82ad=C3=B3w {\em bonusowych}, np. dwa lub = trzy identyczne wyniki lub trzy kolejne liczby naturalne na kostkach mog=C4=85 da=C4=87 efekt specjalny (np. odebranie zebranych kamieni \ppauza w~ustalonej liczbie, np. zale=C5=BCnej od liczby oczek\ppauza innym graczom, zmuszenie innych graczy do oddania kamieni do puli i~in.) \stopitem \startitem Wprowadzenie uk=C5=82ad=C3=B3w {\em malusowych}, np. ka=C5=BC= da sz=C3=B3stka mo=C5=BCe oznacza=C4=87 konieczno=C5=9B=C4=87 oddania do puli= lub innym graczom pewnej liczby kamieni itp. \stopitem \startitem Gracze mog=C4=85 wykonywa=C4=87 ruchy r=C3=B3wnocze=C5=9Bnie = zamiast kolejno. (Trzeba ustali=C4=87, jak wtedy post=C4=99powa=C4= =87, je=C5=9Bli w~trakcie ruchu sko=C5=84cz=C4=85 si=C4=99 kamienie w~puli, o= raz jakie dok=C5=82adnie informacje s=C4=85 jawne dla pozosta=C5=82ych = graczy w~czasie ruchu.) \stopitem \startitem Mo=C5=BCna zmieni=C4=87 warunki zwyci=C4=99stwa, np. wygrywa= =C4=87 mo=C5=BCe gracz, kt=C3=B3ry zebra=C5=82 najwi=C4=99cej kamieni, ale z~w= y=C5=82=C4=85czeniem tego, kt=C3=B3ry spowodowa=C5=82 wyczerpanie puli. \stopitem \startitem Przy jednym rodzaju kamieni zarobione pieni=C4=85dze i~usuni=C4=99te zanieczyszczenia wyra=C5=BCaj=C4=85 si=C4=99 = t=C4=85 sam=C4=85 liczb=C4=85. Mo=C5=BCna wprowadzi=C4=87 dwa rodzaje kamieni i~zr=C3=B3=C5=BCnicowa=C4=87 te liczby, ustalaj=C4=85c, =C5= =BCe np. \math{n} zanieczyszcze=C5=84 jest zwi=C4=85zane z~zarobieniem \math{n^= 2}, \math{\sqrt{n}} lub inn=C4=85 ilo=C5=9Bci=C4=85 pieni=C4=99dz= y. \stopitem \stopitemize \stopanswer \stopitem \stopexercises \stopsubject \stopchapter \startnotmode[nauczyciel] \page \setuppagenumber[state=3Dstop] \midaligned{% \starttikzpicture[scale=3D1.8,rotate=3D-30] \hexboard{2}{10pt} \stoptikzpicture } \par\blank[6*big] \midaligned{% \starttikzpicture[scale=3D1.8,rotate=3D-30] \hexboard{3}{10pt} \stoptikzpicture } \page \midaligned{% \starttikzpicture[scale=3D1.8,rotate=3D60] \hexboard{4}{10pt} \stoptikzpicture } \page \centerbox{% \starttikzpicture[scale=3D1.8,rotate=3D60] \hexboard{5}{10pt} \stoptikzpicture } \stopnotmode \stoptext --MP_/V4joPUf6mbW+jFwiNx+XTe8 Content-Type: text/plain; charset="us-ascii" MIME-Version: 1.0 Content-Transfer-Encoding: 7bit Content-Disposition: inline ___________________________________________________________________________________ If your question is of interest to others as well, please add an entry to the Wiki! maillist : ntg-context@ntg.nl / http://www.ntg.nl/mailman/listinfo/ntg-context webpage : http://www.pragma-ade.nl / http://tex.aanhet.net archive : http://foundry.supelec.fr/projects/contextrev/ wiki : http://contextgarden.net ___________________________________________________________________________________ --MP_/V4joPUf6mbW+jFwiNx+XTe8--