% interface=en output=pdftex
%\environment capcalera.context % Capçalera

% Regime
\enableregime[utf]

% Choose a font
\setupbodyfont [cmr,11pt]

% Be tolerant with paragraph building
\setuptolerance [horizontal,verytolerant,stretch]

% Choose a language, and associated hyphenation rules.
%\language [ca]
\mainlanguage[ca]


% Page number
\setuppagenumbering [location={footer}]

% White space between paragraphs
%\setupwhitespace [big]

% Paper size
\setuppapersize [a4]

% Margins
%\setuplayout  [grid=yes, footer=0.5\footerheight, header=0.5\headerheight]
%\setuplayout[footer=2cm, header=2cm]
%\showlayout
%\showframe
%\showsetups
% Format de marges
\setuplayout[topspace=1.5cm, % marge d'adalt
margin=1.5cm, %marges dels costats
header=1.0cm,%separació entre adalt i primera línia
footer=1.0cm,%separació entre abaix i darrera línia
width=fit,height=fit,backspace=2cm]



% Enable colors and activate hyperlinks
\setupcolors [state=start]
\definecolor[lightblue][r=0.5, g=0.5, b=1.0]
%\setupinteraction [state=start, color=lightBlue]
%\setupurl[style=small, space=yes]
\setupurl[space=yes]

% Enumerate the URLs
%\useURL[wiki][http://wiki.contextgarden.net][][\ConTeXt\ wiki]
%\useURL[nagorko-pdf][http://www.math.bgu.ac.il/~barakw/probseminar/nagorko/slides.pdf][][http://www.math.bgu.ac.il/\~{}barakw/\quad\quad\quad\quad probseminar/nagorko/slides.pdf]
%\useURL[govern-me][http://sgtrelinst.caib.es/llibrestil/00index.html][][http://sgtrelinst.caib.es/llibrestil/00index.html]
%\useURL[context-manual-pdf][http://www.pragma-ade.com/general/manuals/cont-eni.pdf][][http://www.pragma-ade.com/general/manuals/ cont-eni.pdf]
%\useURL [contextgarden] [{http://www.contextgarden.net}]

%\useURL [mccammond][{http://www.math.ucsb.edu/~jon.mccammond/geogrouptheory/}][] [{\tf http://www.math.ucsb.edu/\~{}jon.mccammond/geogrouptheory/}]


% Fonts
%% Chapters...
\setupheads[align=flushleft]
\setuphead[chapter][style={\tfd\bf}]
\setuphead[section][style={\bfc}, header=nomarking]
\setuphead[subsection][style={\bfb}]
\setuphead[subsubsection][style={\bfa}]
%\setuphead[section][textstyle=bold]

% Bibliography options
% BIBTEX
\usemodule[bib]
\usemodule[bibltx]
\setupbibtex[database=tfm,sort=author]
\setuppublications [alternative=ams,numbering=yes, sorttype=bbl, criterium=cite]%
\setupheadtext[ca][pubs=Referències]
\setuppublicationlist[authoretallimit=3]
\setuppublicationlist[authoretaltext={\it\  et al.}]
\setuppublicationlist[authoretaldisplay=1]

%Indentation
\setupheads[indentnext=yes] 
\setupindenting[yes,small,first]
%\setupformulae[indentnext=yes]

% Vertical spaces between paragraphs
\setupwhitespace[small]

%Itemize
\setupitemize[each][identnext=yes,margin=2em]
\setupitemize[each][headstyle=bold]
%\setupitemize[a][right=),stopper=]

% Mathematical packets
\usemodule[newmat]
\usemodule[math-ams]

% Heads and footers
\setupfootertexts[\pagenumber/\lastpage]
\setupfooter[text][before=\hrule]
\setupheader[text][after=\hrule]
\setupheadertexts[{\tfx Màster de Matemàtiques}][{\tfx \jobname.\ConTeXt{}.\currentdate}]

% hyphenating
\hyphenation{do-cu-ment}
\hyphenation{pro-ble-ma}
\hyphenation{es-crip-tu-ra}
\hyphenation{ge-ne-ra-lit-za-ció}
\hyphenation{cor-res-po-nents}

% Modules
\usemodule[tikz]
\usemodule[pgfmath]
\usetikzlibrary[mindmap,arrows,calc,decorations.pathmorphing,decorations.markings]
%\usetikzlibrary[trees]


% AMSTHM equivalent
%% Exercici
\defineenumeration
  [exercici]
  [text={Problema},headstyle=bold,between=\blank,titledistance=0em,textdistance=1em,
stopper={.\space},location=serried,left={\bgroup\bf},right={\egroup},width=fit,before={\bgroup\startframedtext[background=screen,frame=off,width=broad]},after={\stopframedtext\egroup}]

%% Lema 
\defineenumeration
  [lema]
  [text={Lema}, % Què es mostra
   before={\blank[big]}, % abans de lema, un bigskip
   after={\blank[big]}, % després de lema, un bigskip
   headstyle=bold, % Negreta per la capçaleras
   %between=\blank, % Entre Lemmes una línia en blanc
   titledistance=.5em, % espai entre número i parèntesis.
   textdistance=.5em, % espai entre ) i text
   stopper={.\space}, % Com acaba. Després de parèntesis un '.'
   location=serried,
   width=fit, % que ocupi tot l'espai
   style=italic, % estil del text
   title=yes, % si puc posar o no arguments opcionals
   titlestyle=bf, % estil del títol
   way=bytext, % enumerar en tot el document
   conversion=numbers,indenting=yes] % enumera amb arabic

%% Proposició, corol·laris, teoremes.
%% Comparteix els nombres amb lema
%% Si volem que vagin a part, hem de posar 'number=proposition'
\defineenumeration
  [proposition]
  [lema]
  [text={Proposició}]

\defineenumeration
  [corollary]
  [lema]
  [text={Corol·lari}]

\defineenumeration
  [theorem]
  [lema]
  [text={Teorema}]


%% Definició
\defineenumeration
  [definition]
  [lema]
  [text={Definició},style=tf,titlestyle=bf,indenting=yes]

\defineenumeration
  [notation]
  [definition]
  [text={Notació},style=tf,titlestyle=bf,indenting=yes]

\defineenumeration
  [note]
  [definition]
  [text={Nota},style=tf,titlestyle=bf,indenting=yes]

%% Demostració

\defineenumeration[demo][text={Demostració.\space},number=no,location=serried,width=fit,headstyle=italic,indentnext=yes,between=\blank,textdistance=.5em,closesymbol={\mathematics{\Box}},style=normal,indenting=yes]

% Table of contents
%% dots between... and subsubsubsection are not listed
\setupcombinedlist[content][level=4,alternative=c] 
%% section = bold. % width= 10mm --> less space between num-letter
%% line break after section.
\setuplist[section][style=bold,width=10mm] 
\setuplist[section][before=\blank]
%% margin = 10 mm. Put the subsection just bottom section.
\setuplist[subsection][margin=10mm,width=10mm]
\setuplist[subsubsection][margin=20mm,width=10mm]

%\setuplist[subsection] %[distance=1em] % section = bold. % 
% Això ho trec d'un manual:
%\setuplist[subsection]
%          [margin=1em,
%          numbercommand=\NumCom]
%\def\NumCom#1{\hbox to 2em{\hfill #1}}

% Set "Índex" like "Índex de continguts"
\setupheadtext [ca] [content=Índex]

% Definitions/abbreviations
\define[1]\dist{d(\sigma_g(#1), \sigma_h(#1))}
\define[1]\imp{{\bgroup\startframedtext[background=screen,frame=on,width=broad]#1\stopframedtext\egroup}}
%\define[1]\imp{{\bgroup\startframedtext[background=color,backgroundcolor=lightblue,frame=on,width=broad]#1\stopframedtext\egroup}}


% SPLIT
\def\startsplit
  {\startalign} % no number by default
\def\stopsplit
  {&\doalignNR[+][]\crcr % for a number on last line
   \stopalign}

% Other
\setupunderbar[alternative=b] % Fix underline style
% For putting underline with spaces: \underbar{\dorecurse{40}~}

% Start the text
\starttext

\section{Preliminars}

\startdefinition Siguin $G$ un grup, $A$ un conjunt finit de generadors de $G$ i ${\cal P} = \langle A \mid R \rangle$ una presentació finita de $G$. Una paraula $w \in A^*$ es {\em nul-homotòpica} per ${\cal P}$ si, i només si, $\pi(w) = 1 \in G$, o, equivalentment, si $w$ forma un cicle dins el graf de Cayley $\Gamma_{G, A}$.
\stopdefinition

la defininció d'àrea posar que assumeixo que el conjunt de relacions conté també els simètrics.

Totes les presentacions finites de $G$ tenen a $A$ com a conjunt finit de generadors de $G$.


\section{Millores directes de les fites de la funció de Dehn per grups seccionables}

\startlema[area-concatenacio] Siguin $G$ un grup, ${\cal P} = \langle A \mid R \rangle$ una presentació finita de $G$ i $u, v, w$ paraules nul-homotòpiques per ${\cal P}$. Si $w = u v$ dins el grup lliure $F(A)$, aleshores 
\startformula
\text{area} (w) \leq \text{area}(u) + \text{area}(v).
\stopformula
\stoplema

\startdemo Si $\text{area}(u) = N$ i $\text{area}(v) = M$, aleshores
\startformula
\startmathalignment
 \NC u \NC  = \prod_{i=1}^N x_i^{-1} r_i x_i, \NR[+]
 \NC v \NC  = \prod_{j=1}^M y_j^{-1} s_j y_j, \NR[+]
\stopmathalignment
\stopformula%
per a alguns $x_i, y_j \in F(A)$, $r_i, s_j \in R$, on aquestes igualtats són dins el grup lliure $F(A)$. Com que $w = u v$ també dins el grup lliure, tenim que
\placeformula[-] \startformula \startsplit
  \NC w = u v \NC = \bigl( \prod_{i = 1}^N x_i^{-1} r_i x_i \bigr) \cdot \bigl( \prod_{j=1}^M y_j^{-1} s_j y_j \bigr) \NR
  \NC \NC = (x_1^{-1} r_1 x_1)\cdots (x_N^{-1} r_N x_N) \cdot (y_1^{-1} s_1 y_1) \cdots (y_M^{-1} s_M y_M) \NR
  \NC \NC =  \prod_{k=1}^{M+N} z_k^{-1} t_k z_k
\stopsplit \stopformula
on
\startformula
  z_k = \startcases
    \NC x_k    \MC 1 \leq k \leq N \NR
    \NC y_{k-N} \MC N+1 \leq k \leq N+M, \NR
  \stopcases t_k = \startcases
    \NC r_k    \MC 1 \leq k \leq N \NR
    \NC s_{k-N} \MC N+1 \leq k \leq N+M. \NR
  \stopcases
\stopformula
Llavors, per definició, $\text{area}(w) \leq N+M = \text{area}(u) + \text{area}(v)$.
\stopdemo

\startlema[area-conjugats] Siguin $G$ un grup i ${\cal P} = \langle A \mid R \rangle$ una presentació finita de $G$. Si $w$ és una paraula nul-homotòpica per ${\cal P}$ i $x \in F(A)$, llavors
\startformula
\text{area}(x^{-1}wx) \leq \text{area}(w).
\stopformula
\stoplema

\startdemo Suposem que $\text{area}(w) = N$. Aleshores existeixen $x_i \in F(A)$ i $r_i \in R$, amb $i \in \{1, \ldots, N\}$, tals que
\placeformula[-]
\startformula
w = \prod_{i=1}^N x_i^{-1} r_i x_i,
\stopformula
on aquesta igualtat és dins el grup lliure $F(A)$. Aleshores, dins el grup lliure, tenim que
\placeformula[-] \startformula \startsplit
  \NC x^{-1} w x \NC = x^{-1} \bigl( \prod_{i = 1}^N x_i^{-1} r_i x_i \bigr) x  \NR
  \NC \NC = x^{-1} (x_1^{-1} r_1 x_1)\cdots (x_N^{-1} r_N x_N) x \NR
  \NC \NC = (x^{-1} x_1^{-1} r_1 x_1 x) (x^{-1} x_2^{-1} r_2 x_2 x)\cdots (x^{-1} x_N^{-1} r_N x_N x) \NR
  \NC \NC = \prod_{i=1}^N x^{-1} x_i^{-1} r_i x_i x \NR
  \NC \NC = \prod_{i=1}^N (x_i x )^{-1} r_i (x_i x),
\stopsplit \stopformula
per la qual cosa tenim que $\text{area}(x^{-1}wx) \leq N = \text{area}(w)$, que és el que volíem veure.
\stopdemo

\startlema[lema-tecnic] Siguin $G$ un grup, $A$ un conjunt finit de generadors de $G$ i ${\cal P} = \langle A \mid R \rangle$ una presentació finita de $G$, $g_1, g_2, g_3, g_4, g_5, g_6 \in G$ i els camins $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ i $g$ dins el graf de Cayley $\Gamma_{G, A}$ que uneixen els parells de punts $(g_1, g_2)$, $(g_2, g_3)$, $(g_3, g_4)$, $(g_4, g_5)$, $(g_5, g_6)$, $(g_6, g_1)$ i $(g_2, g_5)$, respectivament (tal com es representa a la figura).
\placefigure
  [none,here]
  [fig:figura-de-6]
  {Esquema dels 6 punts}
{\startcombination[1*1]
     { \starttikzpicture[scale=1]

% Els punts
\filldraw (0,0) circle (2pt);
\filldraw (2,0) circle (2pt);
\filldraw (4,0) circle (2pt);
\filldraw (4,2) circle (2pt);
\filldraw (2,2) circle (2pt);
\filldraw (0,2) circle (2pt);

% Les línies aleatòries entre punts
\draw [decorate,decoration={random steps,segment length=2mm, amplitude=2pt}] (0,0) -- (2,0);
\draw [decorate,decoration={random steps,segment length=2mm, amplitude=2pt}] (2,0) -- (4,0);
\draw [decorate,decoration={random steps,segment length=2mm, amplitude=2pt}] (4,0) -- (4,2);
\draw [decorate,decoration={random steps,segment length=2mm, amplitude=2pt}] (4,2) -- (2,2);
\draw [decorate,decoration={random steps,segment length=2mm, amplitude=2pt}] (2,2) -- (0,2);
\draw [decorate,decoration={random steps,segment length=2mm, amplitude=2pt}] (0,2) -- (0,0);
\draw [decorate,decoration={random steps,segment length=2mm, amplitude=2pt}] (2,0) -- (2,2);

% el sentit
\draw [decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[blue,line width=1mm]{>}}}] (0,0) -- (2,0);
\draw [decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[blue,line width=1mm]{>}}}] (2,0) -- (4,0);
\draw [decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[blue,line width=1mm]{>}}}] (4,0) -- (4,2);
\draw [decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[blue,line width=1mm]{>}}}] (4,2) -- (2,2);
\draw [decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[blue,line width=1mm]{>}}}] (2,2) -- (0,2);
\draw [decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[blue,line width=1mm]{>}}}] (0,2) -- (0,0);
\draw [decorate,decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow[blue,line width=1mm]{>}}}] (2,0) -- (2,2);


% Els noms
\draw (0, -0.3) node {$g_1$};
\draw (2, -0.3) node {$g_2$};
\draw (4, -0.3) node {$g_3$};
\draw (4, 2.3) node {$g_4$};
\draw (2, 2.3) node {$g_5$};
\draw (0, 2.3) node {$g_6$};

% Els noms dels camins
\draw (1, 0.3) node {$a$};
\draw (3, 0.3) node {$b$};
\draw (3.7, 1) node {$c$};
\draw (3, 1.7) node {$d$};
\draw (1, 1.7) node {$e$};
\draw (0.3, 1) node {$f$};
\draw (2.3, 1) node {$g$};



%    \draw[very thin,color=gray] (-5.1,-5.1) grid [step=1] (5.9,5.9);
%    \draw[->] (-5.2,0) -- (6.2,0) node[right] {$x$};
%    \draw[->] (0,-5.2) -- (0,5.2) node[above] {$y$};

% r = \frac{-1}{3} x + 3
%\filldraw (3,2) circle (2pt);
%\filldraw (-3,4) circle (2pt);
%\draw (-6,5) -- (6,1);
%\draw (1, 3.5) node {$r$};
\stoptikzpicture} { }
   \stopcombination}
D'altra banda, siguin $w_1, w_2$ i $w \in A^*$ les paraules formades per la composició de les paraules corresponents a aquests camins (que seguirem indicant de la mateixa manera) definides com:
\startformula
\startmathalignment
 \NC w_1 \NC = f^{-1}e^{-1}g^{-1}a^{-1}, \NR[+]
 \NC  w_2 \NC = d^{-1} c^{-1} b^{-1} g,\NR[+]
 \NC  w \NC = f^{-1} e^{-1} d^{-1} c^{-1} b^{-1} a^{-1}.\NR[+]
\stopmathalignment
\stopformula
Aleshores $w, w_1, w_2$ són nul-homotòpiques per ${\cal P}$ i a més,
\startformula
\text{area}(w) \leq \text{area}(w_1) + \text{area}(w_2).
\stopformula
\stoplema

\startdemo De forma òbvia tenim que $w_1$, $w_2$ i $w$ són nul-homotòpiques per ${\cal P}$, ja el seus camins dins el graf de Cayley formen cicles (per exemple el camí corresponent a $w_1$ forma un cicle amb punt inicial i punt final $g_1$, perquè és composició de camins de $g_1$ a $g_6$, de $g_6$ a $g_5$, de $g_5$ a $g_2$ i, finalment, de $g_2$ a $g_1$).

D'altra banda, dins el grup lliure $F(A)$ tenim que
\startformula
w = (f^{-1}e^{-1}g^{-1}a^{-1}) a g (d^{-1}c^{-1}b^{-1}g)g^{-1}a^{-1} = w_1 ag w_2 (ag)^{-1}.
\stopformula
Per tant, dins $F(A)$, $w = w_1 x^{-1} w_2 x$ amb $x \in F(A)$. Llavors, aplicant el lemes \in[area-concatenacio] i \in[area-conjugats], tenim que
\startformula
\text{area}(w) = \text{area}(w_1 x^{-1}w_2 x) \leq \text{area}(w_1) + \text{area}(x^{-1} w_2 x) \leq \text{area}(w_1) + \text{area}(w_2).
\stopformula
\stopdemo

\startdefinition{Paraules congruents} Siguin $G$ un grup, $A$ un conjunt finit de generadors de $G$ i ${\cal P} = \langle A \mid R\rangle$ una presentació finita de $G$. Dues paraules $w_1, w_2 \in A^*$ nul-homotòpiques per ${\cal P}$ són {\em congruents} si, i només si, dins el graf de Cayley $\Gamma_{G, A}$ existeixen punts $g_1, g_2, g_3, g_4, g_5, g_6 \in G$ i camins $a, b, c, d, e, f, g$ que uneixen els parells de punts $(g_1, g_2)$, $(g_2, g_3)$, $(g_3, g_4)$, $(g_4, g_5)$, $(g_5, g_6)$, $(g_6, g_1)$ i $(g_2, g_5)$, respectivament, tals que les paraules corresponents a aquests camins (que seguirem indicant de la mateixa manera) satisfan
\startformula
\startmathalignment
 \NC w_1 \NC = f^{-1}e^{-1}g^{-1}a^{-1}, \NR[+]
 \NC  w_2 \NC = d^{-1} c^{-1} b^{-1} g.\NR[+]
\stopmathalignment
\stopformula
En aquest cas, indicarem amb $w_1 \sharp w_2$ a la paraula definida com
\startformula
w_1 \sharp w_2 =  f^{-1} e^{-1} d^{-1} c^{-1} b^{-1} a^{-1}.
\stopformula
\stopdefinition

Del lema previ i d'aquesta definició tenim que si $u$, $v$ són paraules congruents, aleshores $u \sharp v$ és nul-homotòpica per ${\cal P}$ i $\text{area}(u\sharp v) \leq \text{area}(u) + \text{area}(v)$, o sigui, tenim que la funció $\text{area} \colon \{w \in A^* \mid \text{nul-homotòpica per } {\cal P} \} \to \naturalnumbers$ és subadditiva per a paraules congruents, o sigui, subadditiva per l'operació $\sharp$.

\startlema[lema0]Siguin $G$ un grup, $A$ un conjunt finit de generadors de $G$ i ${\cal P} = \langle A \mid R\rangle$ una presentació finita de $G$. Si $w$ és una paraula nul-homotòpica per ${\cal P}$, aleshores $d(1, w(t)) \leq {\lvert w\rvert}/2$, per a tot $t \in \naturalnumbers$.
\stoplema

\startdemo La distància $d(1, w(t))$ és menor o igual que la longitud del menor camí des d'$1$ a $w(t)$ que passa per sobre la corba. Si $t \leq {\lvert w\rvert }/2$, aleshores aquesta longitud és menor o igual que ${\lvert w\rvert}/2$, ja que podem seguir el camí sobre la corba que va de $w(t)$ a $w(0)$. Si $t > {\lvert w\rvert }/2$, llavors aquesta longitud també és menor igual que ${\lvert w\rvert }/2$, ja que podem seguir el camí sobre la corba de $w(t)$ a $w({\lvert w\rvert})$. En tot cas, $d(1, w(t)) \leq {\lvert w\rvert}/2$.
\stopdemo

\startlema[subadditivitat-area] Siguin $G$ un grup, $A$ un conjunt finit de generadors de $G$, ${\cal P} = \langle A \mid R \rangle$ una presentació finita de $G$, $\sigma \colon G \rightarrow A^*$ una secció d'amplada $\varphi$. Aleshores, per a tota paraula $w \in A^*$ nul-homotòpica per ${\cal P}$, existeixen $u_k$ paraules nul-homotòpiques per ${\cal P}$, amb $k \in \{1, \ldots, {\lvert w \rvert}^2/2\}$, de longitud $l(u_k) \leq 2\varphi({\lvert w \rvert}/2)+2$ tals que
\startformula
\text{area}(w) \leq \sum_{k=1}^{{{\lvert w \rvert}^2}/2} \text{area}(u_k).
\stopformula
\stoplema

\startdemo Sigui $w$ una paraula nul-homotòpica per ${\cal P}$. Si $w = \varepsilon$, aleshores el resultat és obvi, ja que basta agafar $w_i = \varepsilon$. Si $\lvert w \rvert \geq 1$, considerem els següents objectes (tal com es mostra a la Figura \in[figura-area]):
\startitemize[2]
\item El conjunt d'índexos $I = \{(i,j) \mid i = 0, \ldots, {\lvert w \rvert}, j = 0, \ldots, {{\lvert w \rvert}^2}/2\}$.
\item Per a tot $(i, j) \in I$, els punts $\sigma_{\pi(w(i))}(j)$ del graf de Cayley $\Gamma_{G, A}$, que indicarem amb $\sigma_{i}(j)$.
\item Per a tots $(i, j), (i',j') \in I$, agafem un camí geodèssic $\rho_{(i,j)(i',j')}$ entre $\sigma_i(j)$ i $\sigma_{i'}(j')$. Escollim $\rho_{(i,{\lvert w \rvert}/2)(i+1,{\lvert w \rvert}/2)}$ de manera que sigui igual al camí geodèssic (de longitud unitat) sobre $w$ que uneix $\sigma_i(j)$ i $\sigma_{i+1}(j)$.
\item Per a tot $(i, j) \in I$ tal que $(i+1,j), (i,j+1), (i+1,j+1) \in I$, sigui $\theta_{i, j}$ el camí determinat per la composició (en aquest ordre) dels camins geodèssics $\rho_{(i,j)(i,j+1)}$, $\rho_{(i,j+1)(i+1,j+1)}$, $\rho_{(i+1,j+1)(i+1,j)}$, $\rho_{(i+1,j)(i,j)}$, i $u_{i, j}$ la paraula corresponent a $\theta_{i,j}$.
\item Per a tot $i \in \{0, \ldots, {\lvert w\rvert } -1\}$, sigui $\tau_i$ el camí determinat pels vèrtexs $\sigma_i(0) = \sigma_{i+1}(0) = 1$, $\sigma_i ({\lvert w \rvert}/2)$ i $\sigma_{i+1} ({\lvert w \rvert}/2)$ i per les composicions de camins
\startformula
\startmathalignment
 \NC \rho_{(i,0)(i,1)}\rho_{(i,1)(i,2)}\ldots \rho_{(i,{\lvert w \rvert}/2-1)(i,{\lvert w \rvert}/2)}, \NR[+]
 \NC \rho_{(i,{\lvert w \rvert}/2)(i+1,{\lvert w \rvert}/2)},\NR[+]
 \NC  \rho_{(i+1,{\lvert w \rvert}/2)(i+1,{\lvert w \rvert}/2-1)}\ldots \rho_{(i+1,1)(i+1,0)}\rho_{(i+1,1)(i+1,0)}.\NR[+]
\stopmathalignment
\stopformula
que uneixen, respectivament, $1$ amb $\sigma_i({\lvert w \rvert}/2)$, $\sigma_i({\lvert w \rvert}/2)$ amb $\sigma_{i+1}({\lvert w \rvert}/2)$, i $\sigma_{i+1}({\lvert w \rvert}/2)$ amb $1$.
I indiquem amb $v_i$ la paraula corresponent a $\tau_i$.
\stopitemize
\placefigure
  [here]
  [figura-area]
  {Camins sobre $w$}
{\startcombination[1*1]
     { \starttikzpicture[scale=1]

% Els punts
\filldraw (0,-4) circle (2pt);
\filldraw (0.4216,3.9603) circle (2pt); % primer punt: avaluo ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)}); a t = 0.141
\filldraw (-0.4216,3.9603) circle (2pt); % primer punt: avaluo ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)}); a t = -0.141

% Les línies entre els punts
\draw (-0.4216,3.9603) -- (0.4216,3.9603);
\draw plot[domain=-3.141:-0.141,smooth,variable=\t] ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)});
\draw plot[domain=0.141:3.141,smooth,variable=\t] ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)});
\filldraw (0,-4) circle (2pt); % perquè me quedi el punt damunt.

% Els combings
\draw plot[domain=0:0.4216,smooth,variable=\t] ({-\t + \t* (\t - 0.4216)*sin(rand r)},{18.8812*\t -4 });

% el sentit d'omega
\draw[decorate,decoration={markings,mark=at position .9 with {\arrow[blue,line width=1mm]{<}}}] plot[domain=-3.141:3.141,smooth,variable=\t] ({3*sin(\t r)},{4*cos(\t r)});


% Els noms
\draw (0, -4.3) node {$1 \in G$};
%\draw (0.9, 8.3) node {$\pi(w(i))$};
%\draw (-0.9, 8.3) node {$\pi(w(i+1))$};
\draw (2.5, -3) node {$w$};

% Els noms dels camins
%\draw (1, 0.3) node {$a$};
%\draw (3, 0.3) node {$b$};
%\draw (3.7, 1) node {$c$};
%\draw (3, 1.7) node {$d$};
%\draw (1, 1.7) node {$e$};
%\draw (0.3, 1) node {$f$};
%\draw (2.3, 1) node {$g$};

% PROVES
%\draw[out=45,in=-45] (0,0) to (0.5,8);
%\draw[color=blue,->] (0,0) .. controls (0.1,2) .. (0.2,3) .. controls (0.3,4) and (0.4,6) .. (0.5,8);
%\draw (0,0) arc (-90:90:3 and 4);
%\draw (0,0) arc (270:90:3 and 4);
%\draw[color=green] plot[domain=-3.141:3.141,smooth,variable=\t] ({4*sin(\t + (.1 * rand) r)},{4*cos(\t r)});
%\draw (0,0) arc (-90:81.82:2 and 4);
%\draw[decorate,decoration={random steps,segment length=2mm, amplitude=2pt}] (0,0) arc (-90:97.18:3.5 and 4);



%    \draw[very thin,color=gray] (-5.1,-5.1) grid [step=1] (5.9,5.9);
%    \draw[->] (-5.2,0) -- (6.2,0) node[right] {$x$};
%    \draw[->] (0,-5.2) -- (0,5.2) node[above] {$y$};

% r = \frac{-1}{3} x + 3
%\filldraw (3,2) circle (2pt);
%\filldraw (-3,4) circle (2pt);
%\draw (-6,5) -- (6,1);
%\draw (1, 3.5) node {$r$};
\stoptikzpicture} { }
   \stopcombination}

\indentation Cada paraula $v_i$ és nul-homotòpica per ${\cal P}$, ja que el seu camí corresponent, $\tau_i$, forma un cicle dins el graf de Cayley $\Gamma_{G, A}$ (que té punt inicial i final $\sigma_i(0) = 1$). Per contrucció,
\startformula
w = v_0 \sharp (v_1 \sharp (\ldots, \sharp(v_{{\lvert w \rvert}-1})\ldots ),
\stopformula
llavors, per aplicació reiterada del Lema \in[lema-tecnic], tenim que
\placeformula[vi]
\startformula
\text{area}(w) \leq  \sum_{i=0}^{{\lvert w \rvert}-1} \text{area}(v_i).
\stopformula

\indentation D'altra banda, cada $u_{i,j}$ és nul-homotòpica per ${\cal P}$, ja que el seu camí corresponent, $\tau_{i,j}$, forma un cicle dins el graf de Cayley amb punt inicial i punt final $\sigma_i(j)$. A més, també per construcció, 
\startformula
v_i = u_{i,0} \sharp (u_{i,1} \sharp (\ldots, \sharp(u_{i,{\lvert w \rvert}/2-1})\ldots ),
\stopformula
per la qual cosa, pel Lema \in[lema-tecnic], tenim que
\placeformula[uij]
\startformula
\text{area}(v_i) \leq  \sum_{j=0}^{{\lvert w \rvert}/2-1} \text{area}(u_{i,j}).
\stopformula
Aleshores, combinant (\in[vi]) i (\in[uij]) tenim que
\placeformula[-]
\startformula
\text{area}(w) \leq \sum_{i=0}^{{\lvert w \rvert}-1} \sum_{j=0}^{{\lvert w \rvert}/2-1} \text{area}(u_{i,j}).
\stopformula

\indentation Pel Lema \in[lema0], tenim que cada $u_{i,j}$ té longitud $l(u_{i,j}) \leq 2 \varphi({\lvert w \rvert}/2)+2$. Aleshores, si reindexam aquest sumatori amb la bijecció
\startformula
\{u_{i, j} \mid i = 0, \ldots, {\lvert w \rvert}-1, j= 0, \ldots, {\lvert w \rvert}/2-1\} \longleftrightarrow \{u_k \mid k = 1, \ldots, {{\lvert w \rvert}^2}/2\},
\stopformula
tenim que
\startformula
\text{area}(w) \leq \sum_{k=0}^{{{\lvert w \rvert}}^2/2} \text{area}(u_k)
\stopformula
amb $u_k$ paraules nul-homotòpiques per ${\cal P}$ tals que $l(u_k) \leq 2 \varphi({\lvert w \rvert}/2)+2$, que és el que volíem veure.
\stopdemo

\startproposition[desigualtat-dehn] Siguin $G$ un grup, $A$ un conjunt finit de generadors de $G$, ${\cal P} = \langle A \mid R \rangle$ una presentació finita de $G$ i una secció $\sigma \colon G \to A^*$ amb amplada $\varphi$. Aleshores
\startformula
\delta_{{\cal P}} (n) \leq \frac{1}{2} \delta_{{\cal P}} (2 \varphi(n/2)+2) \cdot n^2.
\stopformula
\stopproposition

\startdemo Sigui $w$ una paraula nul-homotòpica per ${\cal P}$. Pel Lema \in[subadditivitat-area], tenim que existeixen $u_k$ paraules nul-homotòpiques per ${\cal P}$, amb $k \in \{1, \ldots, {\lvert w \rvert}/2\}$, de longitud $l(u_k) \leq 2 \varphi({\lvert w \rvert}/2) +2$ tals que
\startformula
\text{area}(w) \leq \sum_{i=1}^{{{\lvert w \rvert}^2}/2} \text{area}(u_k).
\stopformula
Com que $l(u_k) \leq 2 \varphi({\lvert w \rvert}/2) +2$, aleshores $\text{area}(u_k) \leq \delta_{{\cal P}}(2 \varphi({\lvert w \rvert}/2) +2)$. A més, de forma òbvia, ${\lvert w \rvert} \leq l(w)$. Per tot això, tenim que
\placeformula[-] \startformula \startsplit
  \NC \text{area}(w) \NC \leq \sum_{k=1}^{{{\lvert w \rvert}^2}/2} \text{area}(u_k) \NR
  \NC \NC \leq  \sum_{k=1}^{{{\lvert w \rvert}^2}/2} \delta_{{\cal P}} (2 \varphi({\lvert w \rvert}/2) +2) \NR
  \NC \NC \leq  \frac{1}{2} {\lvert w \rvert}^2 \cdot \delta_{{\cal P}} (2 \varphi({\lvert w \rvert}/2) +2) \NR
  \NC \NC \leq  \frac{1}{2} {l(w)}^2 \cdot \delta_{{\cal P}} (2 \varphi({l(w)}/2) +2).
\stopsplit \stopformula

\indentation Llavors
\placeformula[-]
\startformula
\startsplit
 \NC \delta_{{\cal P}} (n) \NC = \max \{ \text{area}(w) \mid w \text{ nul-homotòpica per }{\cal P}, l(w) \leq n\}\NR
 \NC \NC \leq \max \{ \frac{1}{2} {l(w)}^2 \cdot \delta_{{\cal P}} (2 \varphi({l(w)}/2) +2) \mid w \text{ nul-homotòpica per } {\cal P}, l(w) \leq n\} \NR
 \NC \NC \leq \frac{1}{2} n^2 \cdot \delta_{{\cal P}} (2 \varphi(n/2) +2)
\stopsplit
\stopformula
que és el que volíem veure.
\stopdemo

\definemathcases[displaycases][style=\displaystyle]
\startlema[equacio-funcional] Sigui $F\colon \naturalnumbers \to \reals $ una funció que cumpleix la recursió $F(n) = F(n-2) + 2 \ln n + \ln \frac{1}{2}$. Aleshores
\placeformula[-]
\startformula
  F(n) = \startdisplaycases
    \NC F(0) + 2 \ln n!!  - \frac{n}{2} \ln 2  \MC \text{si } n \text{ parell} \NR
    \NC F(1) + 2 \ln n!! - \frac{n+1}{2} \ln 2 \MC \text{si } n \text{ senar} \NR
  \stopdisplaycases
\stopformula
on $n!!$ denota el doble factorial, definit recursivament per $1!! = 1$, $0!! = 1$, $n!! = n \cdot (n-2)!!$.
\stoplema

\startdemo Com que la recursió $F(n) = F(n-2) + 2 \ln n + \ln \frac{1}{2}$ és d'ordre $2$, per la Teoria d'equacions en diferències, la solució d'aquesta recursió és única si es coneixen les condicions inicials $F(1)$ i $F(0)$. Per tant, basta comprovar que si $F$ té aquesta forma, aleshores $F$ compleix la recursió, el que es pot veure amb un simple càlcul.
\stopdemo

\starttheorem[Theorema-n!!-Presentacions] Siguin $G$ un grup, $A$ un conjunt finit de generadors de $G$, ${\cal P} = \langle A \mid R \rangle$ una presentació finita de $G$ i $\sigma \colon G \to A^*$ una secció d'amplada $\varphi$ tal que existeix un $n_0 \in \naturalnumbers$ tal que $\varphi(n) < n-1$ per a tot $n \geq n_0$. Aleshores existeix $C$ constant, que només depèn de $n_0$ (i de ${\cal P}$), tal que
\startformula
\delta_{{\cal P}} (n) \leq C \cdot \frac{(n!!)^2}{2^{n/2}},
\stopformula
per a tot $n \geq n_0$. A més, $C$ compleix que
\startformula
C \geq \frac{(\delta_{{\cal P}}(n_0)+1)\cdot 2^{\frac{n_0+1}{2}}}{(n_0!!)^2}.
\stopformula
\stoptheorem

\startdemo
Per la Proposició \in[desigualtat-dehn], tenim que
\startformula
\delta_{{\cal P}} (n) \leq \frac{1}{2} \delta_{{\cal P}} (2 \varphi(n/2)+2) \cdot n^2.
\stopformula
Com que $\varphi(n) < n-1$ per a tot $n \geq n_0$, llavors $\varphi(n) \leq n-2$, ja que la funció $\varphi$ només pren valors naturals. Per això, per a tot $n \geq n_0$, tenim que $2 \varphi(n/2) +2 \leq n-2$. Per tant, $\delta_{{\cal P}}$ compleix la desigualtat
\placeformula[desigualtat-delta-p]
\startformula
\delta_{{\cal P}} (n) \leq \frac{1}{2} \delta_{{\cal P}} (n-2) \cdot n^2,
\stopformula
per a tot $n \geq n_0$.

Sigui $f\colon \naturalnumbers \to \naturalnumbers\setminus \{0\}$ una funció tal que compleix que
\placeformula[desigualtat-f]
\startformula
\startmathalignment
 \NC f(n) \NC  = \frac{1}{2} f(n-2) \cdot n^2, \NR[+]
 \NC f(n_0) \NC  \geq \delta_{{\cal P}}(n_0) \NR
\stopmathalignment
\stopformula
La desigualtat (\in[desigualtat-delta-p]) implica que $\delta_{{\cal P}}(n) \leq f(n)$ per a tot $n \geq n_0$. Vegem-ho per inducció sobre $n$.
\startitemize[1]
\item Si $n= n_0$, aleshores $\delta_{{\cal P}}(n_0) \leq f(n_0)$ per construcció de $f$.
\item Suposem-ho cert fins a $n$ i provem-ho per a $n+1$. Aplicant hipòtesi d'inducció i (\in[desigualtat-delta-p]), tenim que
\startformula
f(n+1) = \frac{1}{2} f(n-1) \cdot (n+1)^2 \geq \frac{1}{2} \delta_{{\cal P}} (n-1) \cdot (n+1)^2 \geq \delta_{{\cal P}} (n+1).
\stopformula
\stopitemize

\indentation Considerem la funció $F \colon \naturalnumbers \to \reals$ definida per $F(n) = \ln f(n)$. Per (\in[desigualtat-f]) prenent logaritmes i operant, tenim que $F$ compleix que
\placeformula
\startformula
\startmathalignment
 \NC F(n) \NC = F(n-2) + 2 \ln n + \ln \frac{1}{2}, \NR[+]
 \NC F(n_0) \NC = \ln f(n_0)\NR
\stopmathalignment
\stopformula
Pel Lema \in[equacio-funcional], $F$ és de la forma
\placeformula[-]
\startformula
  F(n) = \startdisplaycases
    \NC F(0) + 2 \ln n!!  - \frac{n}{2} \ln 2  \MC \text{si } n \text{ parell} \NR
    \NC F(1) + 2 \ln n!! - \frac{n+1}{2} \ln 2 \MC \text{si } n \text{ senar} \NR
  \stopdisplaycases
\stopformula
Agafant $f(n_0) \geq \delta_{{\cal P}}(n_0) + 1 > 0$, $F(0) = \ln C_1$ i $F(1) = \ln C_2$ amb $C_1$ i $C_2$ constants, que només depenen de $n_0$ i de $\delta_{{\cal P}}$, que satisfan
\startformula
\startmathalignment
 \NC C_1 \NC = \frac{f(n_0) \cdot 2^{n_0/2}}{(n_0!!)^2}, \NR[+]
 \NC C_2 \NC = \frac{f(n_0) \cdot 2^{\frac{n_0+1}{2}}}{(n_0!!)^2},\NR
\stopmathalignment
\stopformula
aleshores tenim que $F(n_0) = \ln f(n_0)$. Notem que és necessari agafar $f(n_0) > 0$ per assegurar l'existència de $\ln C_1$ i $\ln C_2$ i que sempre podem fer aquesta elecció perquè $f(n_0) \geq \delta_{{\cal P}}(n_0)$. Per tot això, $F$ té la forma
\placeformula[-]
\startformula
  F(n) = \startdisplaycases
    \NC \ln C_1 + 2 \ln n!!  - \frac{n}{2} \ln 2  \MC \text{si } n \text{ parell} \NR
    \NC \ln C_2 + 2 \ln n!! - \frac{n+1}{2} \ln 2 \MC \text{si } n \text{ senar} \NR
  \stopdisplaycases
\stopformula

\indentation De forma clara, $F(n) \leq \ln C_2 + 2 \ln n!! - \frac{n}{2} \ln 2$, per la qual cosa tenim que
\startformula
\delta_{{\cal P}} (n) \leq f(n) = e^{F(n)} \leq C_2 \cdot \frac{(n!!)^2}{2^{n/2}},
\stopformula
per a tot $n \geq n_0$. Llavors si diem $C= C_2$, tenim el que volíem.
\stopdemo

\starttheorem Siguin $G$ un grup, $A$ un conjunt finit de generadors de $G$ i $\sigma \colon G \to A^*$ una secció d'amplada $\varphi$ tal que existeix $n_0 \in \naturalnumbers$ tal que $\varphi(n) < n-1$ per a tot $n \geq n_0$. Aleshores la funció de Dehn de $G$, $\delta_G$, safisfà
\startformula
\delta_{G} (n) \simeq \frac{(n!!)^2}{2^{n/2}},
\stopformula
per a tot $n \geq n_0$.
\stoptheorem

\startdemo Sigui ${\cal P} = \langle A \mid R\rangle$ una presentació qualsevol de $G$. Pel Teorema \in[Theorema-n!!-Presentacions] existeix una constant $C_{{\cal P}, n_0}$, que depèn de ${\cal P}$ i de $n_0$, tal que 
\startformula
\delta_{{\cal P}} (n) \leq C_{{\cal P},n_0} \cdot \frac{(n!!)^2}{2^{n/2}}.
\stopformula
per a tot $n \geq n_0$. Com que les funcions de Dehn de dues presentacions de $G$ són $\simeq$-equivalents \cite[extras={, Proposició~1.3.3}][bridson-tutorial], llavors la funció de Dehn, $\delta_G$, és $\simeq$-equivalent a $\delta_{\cal P}$ i, per tant,
\startformula
\delta_G \simeq \frac{(n!!)^2}{2^{n/2}},
\stopformula
per a tot $n \geq n_0$.
\stopdemo

\startnote
\startitemize[1]
\item Aquest teorema redueix de forma notable les fites superiors de les funcions de Dehn conegudes per grups seccionables. Bridson provà que si $G$ és un grup tal que admet una secció d'amplada $\varphi$ tal que $\varphi(n) < n-1$ assimptòticament, aleshores la seva funció de Dehn $\delta_G$ té ordre $e^{kn^3}$ \cite[extras={, Teorema~4.3}][bridson], i Riley demostrà que si $G$ admet una secció {\em geodèssica} tal que $\varphi(n) < n-1$ de forma assimptòtica, aleshores $\delta_{G}(n)$ és equivalent linealment a $n!$ \cite[extras={, Teorema~2}][riley]). Com que $(n!!)^2$ és una fita superior més baixa i no és equivalent linealment a cap de les dues fites anteriors, aleshores aquest teorema millora les fites.

Record que $f$ és equivalent linealment a $g$ si, i només si, $f \preceq g$ i $g \preceq f$, on $f \preceq g$ significa que existeix una constant $k > 0$ tal que $f(x) \leq k g(kx + k) + kx + k$ per a tot $x \geq 0$.

\item Tenim molt més que $\delta_G (n) < (n!!)^2$, tal com posa de manifest l'apartat $a$ del teorema.

\item La Proposició \in[desigualtat-dehn] també implica fites inferiors, molt grolleres per cert.
\stopitemize

Podem confirmar aquest teorema amb els resultats següents:

\starttheorem[teorema4.2millorat]Siguin $G$ un grup, $A$ un conjunt finit de generadors de $G$, $\sigma \colon G\rightarrow A^*$ una secció de $G$ respecte de $A$ i $F\colon \naturalnumbers \rightarrow \naturalnumbers$ una funció qualsevol tal que $F(n) \geq 1$ per a tot $n > 0$. Si $\varphi(n) < n-1$  per a $n$ suficientment gran i $F$ compleix que
\startformula
F(n) \geq \frac{1}{2} n^2 F\big(2 \varphi({n}/{2}) + 2\big)
\stopformula
per a $n$ suficientment gran, aleshores $F$ és una funció isoperimètrica de $G$.
\stoptheorem

\startdemo Basta veure que $F$ és una funció isoperimètrica per a alguna presentació finita de $G$, és a dir, que existeix una presentació finita ${\cal P}$ de $G$ tal que qualsevol paraula nul-homotòpica $w$ de longitud $l(w) \leq n$ satisfà que $\text{area}(w) \leq F(n)$.

Sigui $N$ tal que $\varphi(n) < n-1$ i $F(n) \geq \frac{1}{2} n^2 F(2 \varphi(n/2) +2)$ per a tot $n \geq N$. Tenim que ${\cal P} = \langle A \mid R_0 \rangle$ és una presentació finita de $G$, on $R_0 = \{w \in A^* \mid w \text{ nul-homotòpica, } l(w) \leq 2N\}$ \cite[extras={, Proposició~3.1}][bridson].

Sigui $w$ una paraula nul-homotòpica per ${\cal P}$. Provem per inducció sobre $l(w) $ que $F$ és una funció isoperimètrica per aquesta presentació.

\startitemize[1]
\item Si $w$ és una paraula nul-homotòpica tal que $l(w)\leq 2N$, aleshores $\text{area}(w) = 1$ (ja que, per estar $w \in R_0$, existeix un diagrama de van Kampen ${\cal D}$ sobre ${\cal P}$ que té $w$ com a frontera i com a única cara. A més, $C({\cal D}) = \text{area}(w)= 1$). Com que $F(n) \geq 1$ per a tot $n \geq 1$, tenim que $\text{area}(w) = 1 \leq F(2N)$.

\item Suposem que $l(w) = n > 2N$ i que qualsevol paraula nul-homotòpica de longitud $r < n$, $w_r$, és tal que $\text{area}(w_r) \leq F(r)$. Vegem que $\text{area}(w) \leq F(n)$.

Pel Lema \in[subadditivitat-area], existeixen $u_k$ paraules nul-homotòpiques per ${\cal P}$, amb $k = \{1, \ldots, n^2/2\}$, tals que
\startformula
\text{area}(w) \leq \sum_{i=1}^{n^2/2} \text{area}(u_k)
\stopformula
i $l(u_k) \leq 2 \varphi(n/2) + 2$.
Com que $\varphi(n) < n-1$, tenim que $l(u_k) \leq n-2$ i per tant podem aplicar hipòtesi d'inducció. Aplicant la desigualtat sobre $F$ que suposam per hipòtesi, tenim que
\placeformula[-] \startformula \startsplit
  \NC \text{area}(w) \NC \leq \sum_{i=1}^{n^2/2} \text{area}(u_k) \NR
  \NC \NC \leq \sum_{i=1}^{n^2/2} F(2 \varphi(n/2) + 2) \NR
  \NC \NC \leq \frac{1}{2} n^2 F(2 \varphi(n/2) + 2) \NR
  \NC \NC \leq F(n).
\stopsplit \stopformula
\stopitemize
\stopdemo

\startcorollary $(n!!)^2$ és una funció isoperimètrica.
\stopcorollary

\startdemo Pel Teorema \in[teorema4.2millorat] basta veure que la funció $n \mapsto (n!!)^2$ compleix
\stopdemo

\completepublications[criterium=cite] %all per tots

\stoptext