\environment[template.mkiv]

\definemargindata[marginfigure][inright]

\useMPlibrary[dum]

\setupmargindata [marginfigure][command=\vbox,align=middle,stack=yes]

\setvariables
    [headertext]
    [title={Interrogation écrite},
     number={3},
     day={8},
     month={11},
     year={2022},
     location={Premières},
     time={55 minutes}]

\showgrid
\startcomponent[ie_3]
  \startex
    Nous considérons la suite \u définie sur \N par son premier terme \m{u_0=-2} et la relation de récurrence
    \startformula
      \text{pour tout} \; n \in \N, \; u_{n+1}=\sqrt{3+u_n}.
    \stopformula
    Les termes de cette suite sont itérés par la fonction \m{f\,\colon x \longmapsto \sqrt{x+3}} qui est définie sur \intervalfo{-3}{+\infty}, et dont la représentation graphique \m{C_f} est donnée ci-après.
    \startlinecorrection[blank]
      \startmidaligned
        \externalfigure[spirale.pdf]
      \stopmidaligned
    \stoplinecorrection
    Représenter graphiquement les cinq premiers termes de cette suite.
  \stopex
  \startex
    La suite \u est arithmétique de raison \m{r=-7} et de premier terme \m{u_0=5}.
    \startitemize[n]
      \startitem
        Calculer \m{u_{16}}.
      \stopitem
      \startitem
        Calculer la somme
        \startformula
          \sum_{k=0}^{k=16}u_k=u_0+u_1+u_2+\cdots + u_{15}+u_{16}.
        \stopformula
      \stopitem
    \stopitemize
  \stopex
  \startex
      On considère la suite arithmétique \u, définie sur \N, telle que \m{u_{12}=52} et \m{u_{23}=107}.
      \startitemize[n]
        \startitem
          Calculer la raison \m{r} de la suite.
        \stopitem
        \startitem
          Déterminer le terme initial \m{u_0}.
        \stopitem
        \startitem
          Déterminer \m{u_n} en fonction de \m{n}, puis calculer \m{u_{55}}.
        \stopitem
        \startitem
          Donner le sens de variation de \u.
        \stopitem
        \startitem
          Conjecturer la limite éventuelle de la suite \u.
        \stopitem
      \stopitemize
  \stopex
  \startex
   On s'intéresse à des pyramides construites avec des allumettes comme ci-après .

  En poursuivant ainsi, on obtient des pyramides à autant d'étages que l'on souhaite à condition, bien sûr, d'avoir assez d'allumettes.
    \startlinecorrection[blank]
      \startmidaligned
        \startcombination[3*1]
          {\externalfigure[pyramide_1.pdf]}{\tfx 1 étage}
          {\externalfigure[pyramide_2.pdf]}{\tfx 2 étages}
          {\externalfigure[pyramide_3.pdf]}{\tfx 3 étages}
        \stopcombination
      \stopmidaligned
    \stoplinecorrection
    Le 1\high{\tfxx er} étage est formé de 3 allumettes, le 2\high{\tfxx e} de 7 allumettes, et le 3\high{\tfxx e} de 11 allumettes.
    \startitemize[n]
      \startitem
       De combien d'allumettes est formé le 4\high{\tfxx e} étage ? Le 5\high{\tfxx e} ?
      \stopitem
      \startitem
        Pour tout entier naturel \m{n\geqslant 1}, on note \m{u_n} le nombre d'allumettes du \m{n-\text{ième}} étage. Ainsi, nous avons \m{u_1=3}.

        Justifier que la suite \u est arithmétique en précisant sa raison.
      \stopitem
      \startitem
        Déterminer le calcul explicite de \m{u_n} en fonction de \m{n}, \m{u_1} et \m{r}.
      \stopitem
      \placerecipe{}{ \externalfigure[pyramide.png][scale=850]}
      \startitem
        Déterminer le nombre d'allumettes du 10\high{\tfxx e} étage.
      \stopitem
      \startitem
        Combien d'allumettes au total ont été nécessaires pour réaliser la construction jusqu'au 10\high{\tfxx e} étage ?
      \stopitem
       
      \startitem
        On considère la fonction {\tt \darkred pyramide()} ci-contre programmée en langage Python.

        À quoi correspond le nombre renvoyé par {\tt \darkred pyramide(3)} ?
      \stopitem
    \stopitemize
  \stopex
\stopcomponent

% Local Variables:
% mode: context
% TeX-command-default: "lmtx"
% End: