I can't put footnote

* I can't put footnote
@ 2009-07-22 17:29 Xan
  2009-07-22 18:22 ` Hans Hagen
  0 siblings, 1 reply; 13+ messages in thread
From: Xan @ 2009-07-22 17:29 UTC (permalink / raw)
  To: mailing list for ConTeXt users, Xan

[-- Attachment #1: Type: text/plain, Size: 203 bytes --]

Hi,

Anyone could help me please. I attach a document with I have problems.
When I comment out the footnote in line 402, then I get an error.

Can anyone could see what happens?

Thanks in advance,
Xan.

[-- Attachment #2: memoria.context --]
[-- Type: text/plain, Size: 28110 bytes --]

% interface=en output=pdftex
%\environment capcalera.context % CapÃ§alera

% Regime
\enableregime[utf]

% Choose a font
\setupbodyfont [cmr,11pt] % cmr, 11pt

% Be tolerant with paragraph building
\setuptolerance [horizontal,verytolerant,stretch]

% Choose a language, and associated hyphenation rules.
%\language [ca]
\mainlanguage[ca]

% Page number
\setuppagenumbering [location={footer}]

% White space between paragraphs
%\setupwhitespace [big]

% Paper size
\setuppapersize [a4]

% Margins
%\setuplayout  [grid=yes, footer=0.5\footerheight, header=0.5\headerheight]
%\setuplayout[footer=2cm, header=2cm]
%\showlayout
%\showframe
%\showsetups
% Format de marges
%\setuplayout[topspace=1.5cm, % marge d'adalt
%margin=1.5cm, %marges dels costats
%header=1.0cm,%separaciÃ³ entre adalt i primera lÃnia
%footer=1.0cm,%separaciÃ³ entre abaix i darrera lÃnia
%width=fit,height=fit,backspace=2cm]

% Enable colors and activate hyperlinks
\setupcolors [state=start]
\definecolor[lightblue][r=0.5, g=0.5, b=1.0]
%\setupinteraction [state=start, color=lightBlue]
%\setupurl[style=small, space=yes]
\setupurl[space=yes]

% Enumerate the URLs
%\useURL[wiki][http://wiki.contextgarden.net][][\ConTeXt\ wiki]
%\useURL[nagorko-pdf][http://www.math.bgu.ac.il/~barakw/probseminar/nagorko/slides.pdf][][http://www.math.bgu.ac.il/\~{}barakw/\quad\quad\quad\quad probseminar/nagorko/slides.pdf]
%\useURL[govern-me][http://sgtrelinst.caib.es/llibrestil/00index.html][][http://sgtrelinst.caib.es/llibrestil/00index.html]
%\useURL[context-manual-pdf][http://www.pragma-ade.com/general/manuals/cont-eni.pdf][][http://www.pragma-ade.com/general/manuals/ cont-eni.pdf]
%\useURL [contextgarden] [{http://www.contextgarden.net}]

%\useURL [mccammond][{http://www.math.ucsb.edu/~jon.mccammond/geogrouptheory/}][] [{\tf http://www.math.ucsb.edu/\~{}jon.mccammond/geogrouptheory/}]

% Fonts
%% Chapters...
\setupheads[align=flushleft]
\setuphead[chapter][style={\tfd\bf}]
\setuphead[section][style={\bfc}, header=nomarking]
\setuphead[subsection][style={\bfb}]
\setuphead[subsubsection][style={\bfa}]
%\setuphead[section][textstyle=bold]

% Bibliography options
% BIBTEX
\usemodule[bib]
\usemodule[bibltx]
\setupbibtex[database=memoria,sort=author]
\setuppublications [alternative=ams,numbering=yes, sorttype=bbl, criterium=cite]%
\setupheadtext[ca][pubs=ReferÃ¨ncies]
\setuppublicationlist[authoretallimit=3]
\setuppublicationlist[authoretaltext={\it\  et al.}]
\setuppublicationlist[authoretaldisplay=1]

%Indentation
\setupheads[indentnext=yes] 
\setupindenting[yes,small,first]
%\setupformulae[indentnext=yes]

% Vertical spaces between paragraphs
\setupwhitespace[small]

%Itemize
\setupitemize[each][indentnext=no,margin=2em] % [identnext=yes,margin=2em]
\setupitemize[each][headstyle=bold]
%\setupitemize[a][right=),stopper=]

% Mathematical packets
\usemodule[newmat]
\usemodule[math-ams]

% Heads and footers
%\setupfootertexts[][{\tfx \currentdate}]
%\setupfootertexts[\pagenumber/\lastpage]
%\setupfooter[text][before=\hrule]
%\setupheader[text][after=\hrule]
%\setupheadertexts[{\tfx MÃ ster de MatemÃ tiques}][{\tfx \jobname.\ConTeXt{}.\currentdate}]
%\setupheadertexts[][{\tfx \currentdate}]

% hyphenating
\hyphenation{do-cu-ment}
\hyphenation{pro-ble-ma}
\hyphenation{es-crip-tu-ra}
\hyphenation{ge-ne-ra-lit-za-ciÃ³}
\hyphenation{cor-res-po-nents}
\hyphenation{pa-rells}
\hyphenation{ge-ne-rat}

% Modules
\usemodule[tikz]
\usemodule[pgfmath]
\usetikzlibrary[mindmap,arrows,calc,decorations.pathmorphing,decorations.markings]
%\usetikzlibrary[trees]

% AMSTHM equivalent
%% Exercici
\defineenumeration
  [exercici]
  [text={Problema},headstyle=bold,between=\blank,titledistance=0em,textdistance=1em,
stopper={.\space},location=serried,left={\bgroup\bf},right={\egroup},width=fit,before={\bgroup\startframedtext[background=screen,frame=off,width=broad]},after={\stopframedtext\egroup}]

%% Lema 
\defineenumeration
  [lema]
  [text={Lema}, % QuÃ¨ es mostra
   before={\blank[big]}, % abans de lema, un bigskip
   after={\blank[big]}, % desprÃ©s de lema, un bigskip
   headstyle=bold, % Negreta per la capÃ§aleras
   %between=\blank, % Entre Lemmes una lÃnia en blanc
   titledistance=.5em, % espai entre nÃºmero i parÃ¨ntesis.
   textdistance=.5em, % espai entre ) i text
   stopper={.\space}, % Com acaba. DesprÃ©s de parÃ¨ntesis un '.'
   location=serried,
   width=fit, % que ocupi tot l'espai
   style=italic, % estil del text
   title=yes, % si puc posar o no arguments opcionals
   titlestyle=bf, % estil del tÃtol
   way=bytext, % enumerar en tot el document
   conversion=numbers,indenting=yes] % enumera amb arabic

%% ProposiciÃ³, corolÂ·laris, teoremes.
%% Comparteix els nombres amb lema
%% Si volem que vagin a part, hem de posar 'number=proposition'
\defineenumeration
  [proposition]
  [lema]
  [text={ProposiciÃ³}]

\defineenumeration
  [corollary]
  [lema]
  [text={CorolÂ·lari}]

\defineenumeration
  [theorem]
  [lema]
  [text={Teorema}]

%% DefiniciÃ³
\defineenumeration
  [definition]
  [lema]
  [text={DefiniciÃ³},style=tf,titlestyle=bf,indenting=yes]

\defineenumeration
  [notation]
  [definition]
  [text={NotaciÃ³},style=tf,titlestyle=bf,indenting=yes]

\defineenumeration
  [note]
  [definition]
  [text={Nota},style=tf,titlestyle=bf,indenting=yes]

%% DemostraciÃ³

\defineenumeration[demo][text={DemostraciÃ³.\space},number=no,location=serried,width=fit,headstyle=italic,indentnext=yes,between=\blank,textdistance=.5em,closesymbol={\mathematics{\Box}},style=normal,indenting=yes]

% Table of contents
%% dots between... and subsubsubsection are not listed
\setupcombinedlist[content][level=4,alternative=c] 
%% section = bold. % width= 10mm --> less space between num-letter
%% line break after section.
\setuplist[section][style=bold,width=10mm] 
\setuplist[section][before=\blank]
%% margin = 10 mm. Put the subsection just bottom section.
\setuplist[subsection][margin=10mm,width=10mm]
\setuplist[subsubsection][margin=20mm,width=10mm]

%\setuplist[subsection] %[distance=1em] % section = bold. % 
% AixÃ² ho trec d'un manual:
%\setuplist[subsection]
%          [margin=1em,
%          numbercommand=\NumCom]
%\def\NumCom#1{\hbox to 2em{\hfill #1}}

% Set "Ãndex" like "Ãndex de continguts"
\setupheadtext [ca] [content=Ãndex]

% Definitions/abbreviations
\define[1]\dist{d(\sigma_g(#1), \sigma_h(#1))}
\define[1]\imp{{\bgroup\startframedtext[background=screen,frame=on,width=broad]#1\stopframedtext\egroup}}
%\define[1]\imp{{\bgroup\startframedtext[background=color,backgroundcolor=lightblue,frame=on,width=broad]#1\stopframedtext\egroup}}

% SPLIT
\def\startsplit
  {\startalign} % no number by default
\def\stopsplit
  {&\doalignNR[+][]\crcr % for a number on last line
   \stopalign}

% Other
\setupunderbar[alternative=b] % Fix underline style
% For putting underline with spaces: \underbar{\dorecurse{40}~}

% Define new register for the Index of Symbols
\defineregister[symbol][symbols]

% Start the text
\starttext
\version[concept]

\subsubsubject{Paraules sobre un alfabet}

En aquest apartat farem memÃ²ria de la definiciÃ³ de paraula (sobre un alfabet) i introduirem certes notacions i operacions estÃ ndards que farem servir posteriorment.

Recordem que un {\em alfabet}\index{alfabet} Ã©s un conjunt qualsevol de sÃmbols, els quals anomenarem {\em lletres}\index{lletres}. Si $A$ Ã©s un alfabet, aleshores una {\em paraula $w$ sobre $A$}\index{paraula} Ã©s una successiÃ³ finita de lletres de $A$, que escriurem com $w = w_1 \ldots w_k$. Indicarem amb $\varepsilon$ la paraula que no tÃ© cap lletra, la qual anomenarem {\em paraula buida}\index{paraula+buida}. Quan $w$ consti de dues o mÃ©s lletres iguals consecutives, per comoditat, podrem agrupar-les usant la notaciÃ³ multiplicativa. Per exemple si $A = \{a,b\}$, aleshores $ab^3a^2b$ denotarÃ  la paraula $abbbaab$. 

La {\em concatenaciÃ³}\index{concatenaciÃ³ de paraules} de dues paraules $w_1$, $w_2$ sobre $A$, que indicarem amb $w_1 \cdot w_2$, Ã©s la juxtaposiciÃ³ de $w_1$ i $w_2$, Ã©s a dir, si $w_1 = a_1 \ldots a_k$ i $w_2 = b_1 \ldots b_s$, aleshores
\startformula
w_1 \cdot w_2 = a_1 \ldots a_k b_1 \ldots b_s,
\stopformula
amb la convenciÃ³ que $w_1 \cdot \varepsilon = \varepsilon \cdot w_1 = w_1$. Sovint ometrem el sÃmbol $\cdot$ i escriurem $u v$ per denotar $u \cdot v$.

Si $w$ Ã©s una paraula sobre $A$, aleshores $l(w)$\symbol{$l(w)$} denotarÃ  la seva {\em longitud}\index{longitud+d'una paraula}, Ã©s a dir, el seu nombre de sÃmbols. De forma clara, $l(u \cdot v) = l(u) + l(v)$, per a qualssevol paraules $u, v$ sobre $A$. D'altra banda, indicarem amb $w(t)$ el {\em prefix de $w$ de longitud $t$}\index{paraula+prefix de longitud $t$,}. Formalment, si $w = \varepsilon$, $w(t) = \varepsilon$ i si $w = w_1 \ldots w_k$, aleshores $w(t) = w_1 \ldots w_t$.

Per Ãºltim, indicarem amb $A^*$ el {\em monoide lliure sobre $A$}\index{monoide lliure}, Ã©s a dir, el conjunt de totes les paraules sobre $A$.

\subsubsubject{Grups lliures}

En aquesta secciÃ³ construirem el {\em grup lliure} de base $X$ un conjunt qualsevol i descriurem algunes de les seves propietats a mode de teoremes.

Donat $X$ un conjunt qualsevol, agafem un conjunt d'inverses formals de $X$, que indicarem amb $X^{-1}$, format per sÃmbols $x^{-1}$ per a cada $x \in X$. Formalment, $X^{-1}$ Ã©s un conjunt del mateix cardinal que $X$ juntament amb una funciÃ³ bijectiva ${}^{-1} \colon X \to X^{-1}$, de manera que, per a tot $x \in X$, la imatge de $x$ per ${}^{-1}$ s'escriu $x^{-1}$. Amb aquests conjunts podem formar el monoide lliure ${(X \cup X^{-1})}^*$ els elements del qual sÃ³n llistes finites d'elements de $X$ i de les seves inverses formals. Enfatitzem que els elements de $X^{-1}$ sÃ³n inverses formals: si $X = \{a, b\}$, aleshores $b$, $aba^{-1}$, $ab$ i $aba^{-1}a$ sÃ³n elements diferents en el monoide lliure ${(X \cup X^{-1})}^*$.

Afegirem dues convencions: abusant del llenguatge, si $a \in X^{-1}$ i $a = x^{-1}$ per a algun $x \in X$, aleshores $a^{-1}$ denotarÃ  $x$, o sigui, de manera informal, el que feim Ã©s fer involutiva la funciÃ³ ${}^{-1}$. D'altra banda, estendrem les inverses formals a les paraules. Per a la paraula buida definim $\varepsilon^{-1} = \varepsilon$, i si
\startformula
w=x_1 x_2 \ldots x_{k-1}x_k \in {(X \cup X^{-1})}^*,
\stopformula
aleshores $w^{-1}$ indicarÃ  la paraula
\startformula
w^{-1} = x_k^{-1}x_{k-1}^{-1}\ldots x_2^{-1} x_1^{-1} \in {(X \cup X^{-1})}^*.
\stopformula
En poques paraules, amb aquestes convencions, hem aconseguit que ${}^{-1}$ sigui un morfisme en ${(X \cup X^{-1})}^*$ respecte de la concatenaciÃ³ de paraules.

Sobre ${(X \cup X^{-1})}^*$ definim la relaciÃ³ $\sim$ definida de la manera segÃ¼ent: dues paraules $u$, $v$ sÃ³n equivalents, i.e., $u \sim v$, si, i nomÃ©s si, podem passar d'una a l'altra amb un nombre finit de passes del tipus segÃ¼ent:
\startitemize[n]
\item ReducciÃ³: l'eliminaciÃ³ d'una ocurrÃ¨ncia de $xx^{-1}$, per a qualque $x \in X\cup X^{-1}$.
\item AmplificaciÃ³: l'afegit d'una ocurrÃ¨ncia de $xx^{-1}$, per a qualque $x \in X \cup X^{-1}$.
\stopitemize
Ã‰s clar que $\sim$ Ã©s una relaciÃ³ d'equivalÃ¨ncia. A mÃ©s, preserva l'estructura de ${(X \cup X^{-1})}^*$: si $u_1 \sim u_2$ i $v_1 \sim v_2$, aleshores $u_1 \cdot v_1 \sim u_2 \cdot v_2$ i $u_1^{-1} \sim u_2^{-1}$. Per tot aixÃ², es pot veure fÃ cilment que ${(X \cup X^{-1})}^*/\sim$ Ã©s un grup (l'element neutre Ã©s $[\varepsilon]_\sim$ i la inversa de $[w]_\sim$ Ã©s $[w^{-1}]_\sim$). Anomenarem a aquest grup el {\em grup lliure de base $X$}\index{grup+lliure}, i l'indicarem amb $F(X)$\symbol{$F(X)$}. Si $X$ tÃ© nomÃ©s un sol element, aleshores $F(X) \cong \integers$, el qual Ã©s l'Ãºnic grup lliure abeliÃ  no trivial. Si $X = \emptyset$, aleshores $F(X) \cong \{1\}$.

Una paraula sobre $X \cup X^{-1}$ Ã©s {\em reduÃ¯da}\index{paraula+reduÃ¯da} si no contÃ© cap ocurrÃ¨ncia de la forma $xx^{-1}$, amb $x \in X \cup X^{-1}$. Qualsevol paraula que nomÃ©s contÃ© una lletra i $aba^{-1}$ sÃ³n paraules reduÃ¯des. La paraula buida tambÃ© Ã©s reduÃ¯da. En canvi $abb^{-1}b$ i $aba^{-1}abb^{-1}a^{-1}$ no sÃ³n paraules reduÃ¯des.

Donada una paraula $w \in {(X \cup X^{-1})}^*$, existeix una paraula reduÃ¯da $u$ tal que $w \sim u$, obtinguda aplicant un nombre finit de passes de reducciÃ³ \cite[extras={, Lema~6.1}][grillet], la qual indicarem amb $red(w)$\symbol{$red(w)$}. A mÃ©s, aquesta paraula Ã©s Ãºnica, o sigui, no existeix cap altra paraula reduÃ¯da dins la classe d'equivalÃ¨ncia de $w$ \cite[right={; }, extras={, Lema~6.4}][grillet]\cite[left=,extras={, Teorema~2.1.2}][robinson]. AixÃ² fa que el grup lliure $F(X)$ sigui isomorf al grup format pel conjunt de paraules reduÃ¯des sobre $X \cup X^{-1}$ amb l'operaciÃ³ binÃ ria consistent en la concatenaciÃ³ de dues paraules reduÃ¯des seguida de la reducciÃ³ (per exemple, l'aplicaciÃ³ que envia cada paraula reduÃ¯da $u$ a la classe d'equivalÃ¨ncia $[u]_\sim$ Ã©s un isomorfisme entre aquests grups).

Estrictament parlant $X$ no estÃ  inclÃ²s dins $F(X)$, ara bÃ©, tenim la inclusiÃ³ natural $\eta$ de $X$ en $F(X)$ tal que $\eta(x) = [x]_\sim$, per a tot $x \in X$. A mÃ©s, aquesta inclusiÃ³ es pot estendre per a $X^{-1}$ de la forma $\eta(x^{-1}) = [x^{-1}]_\sim$, per a tot $x \in X$. Per construcciÃ³ de $F(X)$, aixÃ² fa que tot element de $F(X)$ es pugui posar com a producte de elements de $\eta(X)$ i els seus inversos, la qual cosa implica el resultat segÃ¼ent:

\starttheorem{\cite[right={; }, extras={, ProposiciÃ³~6.6}][grillet]\cite[left=,extras={, ProposiciÃ³~1.6}][cgt]}El grup lliure $F(X)$ estÃ  generat per $\eta(X)$.
\stoptheorem

Una propietat molt important que compleix el grup lliure, la qual el caracteritza, Ã©s la {\em propietat universal}\index{propietat universal}, que podem enunciar com el resultat segÃ¼ent:

\starttheorem{\cite[extras={, Teorema~6.7}][grillet]} Sigui $\eta \colon X \to F(X)$ la inclusiÃ³ natural. Per a tota funciÃ³ $f$ de $X$ a un grup qualsevol $G$, existeix un Ãºnic morfisme $\nu \colon F(X) \to G$ tal que $\nu \circ \eta = f$.
\stoptheorem

\startcorollary[thme:gruplliure-imatge]{\cite[grillet, robinson]} Sigui $G$ un grup generat per un conjunt $X$. Aleshores existeix un homomorfisme exhaustiu de $F(X)$ a $G$, o sigui, tot grup Ã©s imatge del grup lliure per a qualque homomorfisme.
\stopcorollary

Altres propietats interessants del grup lliure sÃ³n les seguents:

\starttheorem{\cite[extras={, Teorema~2.1.3}][robinson]} Sigui $G$ un grup i $X$ un subconjunt de $G$. Si tot element $g$ de $G$ es pot escriure de forma Ãºnica com a $g = x_1^{l_1} \ldots x_r^{l_r}$ amb $r \geq 0$, $x_i \in X$, $l_i \in \integers$ tals que $l_i \neq 0$ i $x_i \neq x_{i+1}$, per a tot $i \in \{0, \ldots, r\}$, aleshores $G$ Ã©s lliure de base $X$.
\stoptheorem

\starttheorem{\cite[extras={, ProposiciÃ³~1.9}][cgt]} Sigui $X$ un subconjunt de $G$ tal que $X \cap X^{-1} = \emptyset$. Aleshores $X$ Ã©s una base d'un subgrup lliure de $G$ si, i nomÃ©s so, no hi ha cap producte de la forma $x_1 \ldots x_r$ que sigui trivial, amb $r \geq 1$, $x_i \in X \cup X^{-1}$ i $x_i \neq x_{i+1}^{-1}$, on $i \in \{0, \ldots, r\}$.
\stoptheorem

\starttheorem{\cite[robinson,cgt]}Siguin $X$, $Y$ conjunts qualssevol. Aleshores $F(X) \cong F(Y)$ si, i nomÃ©s si, $\lvert X \rvert = \lvert Y \rvert$.
\stoptheorem

Aquest darrer teorema permet definir el {\em rang d'un grup lliure}\index{grup+lliure+rang,} com el cardinal de qualsevol de les seves bases. En aquest sentit, indicarem amb $F_n$\symbol{$F_n$} el {\em grup lliure de rang $n$}.

Per Ãºltim, introduirem notaciÃ³. Si $w$ Ã©s una paraula sobre $X \cup X^{-1}$, la {\em longitud reduÃ¯da} de $w$\index{longitud+reduÃ¯da d'una paraula}, que indicarem amb $\lvert w \rvert$\symbol{$\lvert w \rvert$}, Ã©s la longitud de la paraula reduÃ¯da de $w$, Ã©s a dir, $l(red(w))$. De forma Ã²bvia tenim que, per a totes paraules $u, v$ sobre $X \cup X^{-1}$, $\lvert uv \rvert \leq \lvert u \rvert + \lvert v \rvert$. D'altra banda, si $v, w \in {(X \cup X^{-1})}^*$, aleshores direm que $v$ i $w$ sÃ³n {\em iguals dins el grup lliure $F(X)$}\index{paraules+iguals dins el grup lliure} si $red(v) = red(w)$ o, equivalentment, si $[v]_\sim = [w]_\sim \in F(X)$.

\subsubsubject{Presentacions de grups}

Una presentaciÃ³ d'un grup Ã©s una generalitzaciÃ³ del concepte de taula de productes d'un grup. Donat un grup $G$, la  seva taula de valors proporciona informaciÃ³ sobre el resultat del producte entre dos elements qualssevol. PerÃ², en aquesta taula, hi ha valors que sÃ³n obvis (per exemple, sempre $g g^{-1} = 1$, per a tot $g \in G$) o que es poden deduir d'altres productes (per exemple, si $g^3 = 1$, aleshores $g^2 = g^{-1}$ per a tot $g \in G$). Per tant, hi ha certes relacions {\em importants} entre els elements d'un grup que el determinen. IntuÃ¯tivament, per exemple, la relaciÃ³ $a^n = 1$ determina el grup $\integers_n$. Ara bÃ©, aixÃ com Ã©s important especificar les relacions que governen el grup, tambÃ© ho Ã©s especificar el seus elements, ja que el grup $\integers_n \oplus \integers$ amb $a = (1,0)$ i $b = (0,1)$ tambÃ© compleix que $a^n = 1$. Per tant, informalment, una presentaciÃ³ no serÃ  res mÃ©s que un conjunt d'elements, que direm {\em generadors}, i un conjunt de {\em relacions} entre ells.

Per definir formalment les presentacions de grups ens fa falta recordar quÃ¨ s'entÃ¨n per grup quocient.

\startdefinition
Sigui $G$ un grup i $N$ un subgrup normal de $G$. El {\em grup quocient de $G$ per $N$} (tambÃ© anomenat {\em grup quocient de $G$ mÃ²dul $N$})\index{grup+quocient}, que indicarem amb $G/N$\symbol{$G/N$}, Ã©s el grup format pels cosets de $N$, $\{g N \mid g \in G\}$, i el producte $\cdot$ definit com
\startformula
a N \cdot b N = ab N.
\stopformula
A mÃ©s, l'aplicaciÃ³ $x \mapsto xN = Nx$ Ã©s un morfisme exhaustiu entre $G$ i $G/N$ el nucli del qual Ã©s $N$. Aquesta aplicaciÃ³ s'anomena {\em projecciÃ³ canÃ²nica dins el grup quocient $G/N$}\index{grup+quocient+projecciÃ³ canÃ²nica,}.%\cite[grillet]
\stopdefinition

D'ara en endavant, si $G$ Ã©s un grup i $X$ Ã©s un subconjunt de $G$, indicarem amb $\langle \langle X \rangle \rangle$\symbol{$\langle \langle X \rangle \rangle$} la {\em clausura normal de $X$ en $G$}\index{clausura normal}, Ã©s a dir, el subgrup normal mÃ©s petit que contÃ© $X$.

\startdefinition Una {\em presentaciÃ³ {\cal P} amb generadors $X$ i relacions $R$}\index{presentaciÃ³}, que indicarem amb ${\cal P} = \langle X \mid R \rangle$\symbol{${\cal P} = \langle X \mid R \rangle$}, Ã©s un parell ordenat $(X, R)$, on $X$ Ã©s un conjunt qualsevol i $R \subseteq F(X) \times F(X)$ Ã©s una relaciÃ³ binÃ ria sobre el grup lliure $F(X)$. Una presentaciÃ³ defineix el grup quocient $F(X)/\langle \langle R_* \rangle \rangle$, que indicarem amb $G({\cal P})$, on 
\startformula
R_* = \{uv^{-1} \mid (u, v) \in R\} \subseteq F(X).
\stopformula

Dues presentacions ${\cal P}$ i ${\cal P'}$ sÃ³n {\em equivalents}\index{presentaciÃ³+equivalent} si els seus grups $G({\cal P})$ i $G({\cal P^\prime})$ sÃ³n isomorfs. FreqÃ¼entment, per abÃºs de llenguatge, s'identifica la presentaciÃ³ ${\cal P}$ i el seu grup $G({\cal P})$.
\stopdefinition

Per exemple, si $X = \{a \}$ i $R = \{(a^8,1) \mid a \in X\}$, aleshores $\langle X \mid R \rangle = \integers_8$ (realment el que passa Ã©s que el grup que representa aquesta presentaciÃ³ Ã©s isomorf a $\integers_8$).

Per comoditat, sovint s'abusa de la notaciÃ³ i s'escriuen els parells ordenats de la relaciÃ³ $R$ com una igualtat. AixÃ, l'exemple anterior s'ecriuria com $\langle a \mid a^8 = 1\rangle$. A mÃ©s, moltes vegades les relacions del tipus $u = v$ sÃ³n escrites en la forma $uv^{-1} = 1$. Per exemple, $\langle a, b \mid ab = ba \rangle = \langle a, b \mid aba^{-1}b^{-1} = 1\rangle$ i $\langle a \mid a^8 = a^3\rangle = \langle a \mid a^5 = 1\rangle$.

\startdefinition Sigui $G$ un grup i ${\cal P} = \langle X \mid R\rangle$ una presentaciÃ³. Direm que ${\cal P}$ Ã©s una {\em presentaciÃ³ de $G$}\index{presentaciÃ³+d'un grup} si $G({\cal P}) \cong G$.
\stopdefinition

\startdefinition Una presentaciÃ³ ${\cal P} = \langle X \mid R\rangle$ Ã©s {\em finita}\index{presentaciÃ³+finita} quan $X$ i $R$ sÃ³n ambdÃ³s finits. I un grup $G$ Ã©s {\em finitament presentable}\index{grup+finitament presentat} si existeix una presentaciÃ³ finita de $G$.
\stopdefinition

Notem que, pel CorolÂ·lari \in[thme:gruplliure-imatge], tenim que tot grup Ã©s imatge del grup lliure. Per tant, aplicant el Primer Teorema d'Isomorfia, tenim que tot grup Ã©s isomorf a un grup d'una presentaciÃ³.

D'altra banda, la definiciÃ³ que hem donat Ã©s equivalent a una definiciÃ³ basada en relacions d'equivalÃ¨ncia (amb una construcciÃ³ anÃ loga del grup lliure): si $X$ Ã©s un conjunt qualsevol i $R$ Ã©s un subconjunt de  ${(X \cup X^{-1})}^*$, es pot definir la relaciÃ³ d'equivalÃ¨ncia $\approx$ definida de la manera segÃ¼ent: dues paraules $u, v \in {(X \cup X^{-1})}^*$ sÃ³n tals que $u \approx v$ si, i nomÃ©s si, es pot passar d'una a l'altra amb un nombre finit de passes del tipus segÃ¼ent:
\startitemize[n]
\item ReducciÃ³: l'eliminaciÃ³ d'una ocurrÃ¨ncia de $xx^{-1}$, per a qualque $x \in X\cup X^{-1}$, o d'una ocurrÃ¨ncia d'una relaciÃ³ $r \in R$.
\item AmplificaciÃ³: l'afegit d'una ocurrÃ¨ncia de $xx^{-1}$, per a qualque $x \in X \cup X^{-1}$, o d'una ocurrÃ¨ncia d'una relaciÃ³ $r \in R$.
\stopitemize
Es pot veure que $\approx$ Ã©s d'equivalÃ¨ncia i que $F(X)/\approx$ Ã©s un grup, que coincideix amb $G({\cal P})$ amb ${\cal P} = \langle X \mid R'\rangle$, on $R' = \{(red(r),1) \mid r \in R\} \subseteq F(X) \times F(X)$ \cite[magnus].

Tot seguit, oferim diverses presentacions dels grups mÃ©s usuals:
\startitemize[n]
\item El grup lliure $F(X)$ tÃ© presentaciÃ³ $\langle X \mid \emptyset\rangle$. En particular $\integers$ tÃ© $\langle a \mid \emptyset \rangle$ com a presentaciÃ³ (recordem que $\integers$ Ã©s isomorf al grup lliure $F_1$ de rang $1$).
\item El grup $\integers$ (com els altres grups) tambÃ© tÃ© altres presentacions menys {\em naturals}, com, per exemple, $\langle a, b \mid ababa = 1\rangle$ \cite[millerIII].
\item Qualsevol grup finit $G = \{a_1, \ldots, a_n\}$ tÃ© una presentaciÃ³ finita: la corresponent a agafar tots els seus elements com a generadors i totes les relacions de la taula de productes de $G$ (aquestes tenen la forma $a_i a_j = a_k$ i n'hi ha $n^2$).
\item $\integers_n \cong \langle a \mid a^n = 1 \rangle$.
\item $\integers \oplus \integers$ tÃ© $\langle a, b \mid ab = ba\rangle$ com a presentaciÃ³.
\item Una presentaciÃ³ de $\integers_n \oplus \integers$ Ã©s $\langle a, b \mid a^n = 1\rangle$.
\item El grup diÃ¨dric $D_n$ d'ordre $2n$ tÃ© com a presentaciÃ³
\startformula
\langle a, b \mid a^2 = 1, b^n = 1, a^{-1}ba = b^{-1} \rangle.
\stopformula
\item El grup trivial tÃ© com a presentacions
\startformula
\langle a, b \mid a^{-1} b a = b^2, b^{-1}a b=a^2 \rangle
\stopformula
i
\startformula
\langle a, b \mid a^{-1} b^n a = b^{n+1}, a = w \rangle,
\stopformula
on $w$ Ã©s una paraula sobre $\{a, b\}$ tal que la suma dels exponents de $a$ Ã©s 0 i $n > 0$ \cite[millerIII, millerIII-article]. Per tant, no Ã©s gens senzill saber si una presentaciÃ³ correspon al grup trivial.
\item Siguin $m, n \in \integers$. El {\em grup de Baumslag-Solitar}\index{grup+Baumslag-Solitar,}, que indicarem amb $BS(m,n)$\symbol{$BS(m,n)$}, Ã©s el subgrup del grup $\text{Homeo}(\reals)$ de les funcions homeomorfes de $\reals$ generat per les funcions lineals $a(x) = nx$ i $b(x) = x + m$ \cite[meier]. Aquest grup tÃ© com a presentaciÃ³ $\langle a, b\mid ab^m a^{-1}= b^n \rangle$.
\stopitemize

Finalment, notem que si ${\cal P} = \langle X \mid R\rangle$ Ã©s una presentaciÃ³, aleshores tenim l'aplicaciÃ³ $\iota \colon X \rightarrow G({\cal P})$ definida com la composiciÃ³ $p \circ \eta$ de la inclusiÃ³ natural $\eta \colon X \to F(X)$, tal que $\eta(x) = [x]$ per a tot $x \in X \cup X^{-1}$, i la projecciÃ³ natural $p \colon F(X) \to F(X)/N$, on $N = \langle \langle R_* \rangle \rangle$, tal que $p([w]) = [w]N$, per a tot $[w] \in F(X)$. Aquesta aplicaciÃ³ es pot estendre a ${(X \cup X^{-1})}^*$ com
\startformula
\iota(w) = \iota(w_1) \cdots \iota(w_r) \in G({\cal P}),
\stopformula
per a tota paraula $w = w_1 \ldots w_r$ sobre $X \cup X^{-1}$.

\starttheorem Per a tota presentaciÃ³ {\cal P} = \langle X \mid R \rangle, $\iota(X)$ genera $G({\cal P})$.
\stoptheorem

\startdemo Sigui $g \in G({\cal P})$, aleshores $g = [w]N$ per a alguna paraula $w = w_1 \ldots w_r$ sobre $X \cup X^{-1}$. Per tant,
\startformula
g = [w_1 \ldots w_r]N = ([w_1]\cdots [w_r])N = [w_1]N \cdots [w_r]N.
\stopformula
Cada $w_i$ Ã©s de $X$ o de $X^{-1}$. Si $w_i = x^{-1}$ per a algun $x \in X$, aleshores $[w_i]N = [x^{-1}]N = [x]^{-1}N = \iota(x)^{-1}$. Per tant, $g$ es pot posar com a producte d'elements de $\iota(X)$ i els seus inversos.
\stopdemo

De forma habitual s'identifica $X$ amb $\iota(X)$, denotant els seus elements amb els mateixos sÃmbols i, per tant, de forma freqÃ¼ent es diu que $X$ {\em genera} $G({\cal P})$. Per exemple, pel grup $\integers \oplus \integers = \langle a, b \mid ab = ba \rangle$, identifiquem $a$ i $b$ amb $\iota(a)=(1,0)$ i $\iota(b) = (0,1)$.

\subsubsubject{El problema de la paraula}

Sigui $G$ un grup i $X$ un subconjunt de $G$. Aleshores l'aplicaciÃ³ $\pi \colon {(X \cup X^{-1})}^* \to G$\symbol{$\pi$} consistent a enviar cada lletra $x \in X$ a l'element corresponent $\pi(x) = x \in G$ es pot estendre de manera natural a totes les paraules de $X \cup X^{-1}$ de la forma segÃ¼ent:
\startitemize[n]
\item $\pi(x^{-1}) = \pi(x)^{-1}$ per a tot $x \in X$.
\item Per a tota paraula $w = w_1 \ldots w_r$ sobre $X \cup X^{-1}$,
\startformula
\pi(w) = \pi(w_1) \cdots \pi(w_r) \in G.
\stopformula
\stopitemize
Per tant, $\pi$ Ã©s un morfisme de monoides entre ${(X \cup X^{-1})}^*$ i $G$. De forma Ã²bvia, si $X$ Ã©s un conjunt de generadors de $G$, aleshores $\pi$ Ã©s exhaustiva. En particular, si ${\cal P} = \langle X \mid R \rangle$ Ã©s una presentaciÃ³, aleshores, com que $X$ Ã©s un conjunt de generadors de $G({\cal P})$%\footnote{Recordem que abusem del llenguatge, identificant $\iota(X)$ i $X$, i que, realment, $\iota(X)$ Ã©s el generador de $G(\cal{P})$.}
, llavors $\pi \colon {(X \cup X^{-1})}^* \to G({\cal P})$ Ã©s un morfisme exhaustiu.

\startdefinition Sigui $G$ un grup i ${\cal P} = \langle X \mid R\rangle$ Ã©s una presentaciÃ³ de $G$. Una paraula $w$ sobre $X \cup X^{-1}$ Ã©s {\em nul-homotÃ²pica per ${\cal P}$}\index{paraula+nul-homotÃ²pica per una presentaciÃ³} si, i nomÃ©s si, $\pi(w) = 1 \in G$.
\stopdefinition

\startdefinition Sigui $G$ un grup i ${\cal P} = \langle x_1, \ldots, x_n \mid r_1, \ldots, r_k\rangle$ una presentaciÃ³ {\em finita} de $G$. El {\em problema de la paraula per a {\cal P}}\index{problema de la paraula+per una presentaciÃ³ finita} consisteix en trobar un algorisme que, donada una paraula $w \in {(X \cup X^{-1})}^*$, decideixi si $\pi(w) = 1$ o $\pi(w) \neq 1$.
\stopdefinition

\subsubject{Eines geomÃ¨trics per fer front al problema de la paraula}

Posar la proposiciÃ³ 2.2 de l'article de Joe.
\completepublications[criterium=cite] %all per tots

\title{Llista de sÃmbols}
\placesymbol

\title{Ãndex alfabÃ¨tic}
\placeindex

\stoptext

\startitemize[1]
\item $\pi(x^{-1}) = \pi(x)^{-1}$ per a tot $x \in X$.
\item Per a tota paraula $w = w_1 \ldots w_r$ sobre $X \cup X^{-1}$,
\startformula
\pi(w) = \pi(w_1) \cdots \pi(w_r) \in G.
\stopformula
\stopitemize

\startdefinition
Sigui $X$ un conjunt qualsevol i $R \subseteq F(X) \times F(X)$ una relaciÃ³ binÃ ria sobre el grup lliure $F(X)$. Una {\em presentaciÃ³ ${\cal P}$ amb generadors $X$ i relacions $R$}\index{presentaciÃ³}, que indicarem amb ${\cal P} = \langle X \mid R \rangle$, Ã©s el grup quocient $F(X)/\langle \langle R_* \rangle \rangle$, on
\startformula
R_* = \{uv^{-1} \mid (u, v) \in R\} \subseteq F(X).
\stopformula
Quan ens convengui diferenciar entre la presentaciÃ³ com a un parell ordenat de sÃmbols i el grup quocient en si, indicarem amb ${\cal P}$ la presentaciÃ³ i $G({\cal P})$ el grup que aquesta representa.
\stopdefinition

[-- Attachment #3: Type: text/plain, Size: 487 bytes --]

___________________________________________________________________________________
If your question is of interest to others as well, please add an entry to the Wiki!

maillist : ntg-context@ntg.nl / http://www.ntg.nl/mailman/listinfo/ntg-context
webpage  : http://www.pragma-ade.nl / http://tex.aanhet.net
archive  : https://foundry.supelec.fr/projects/contextrev/
wiki     : http://contextgarden.net
___________________________________________________________________________________

^ permalink raw reply	[flat|nested] 13+ messages in thread